2.2 Основные положения математической статистики

2.2.1 Случайная величина

Любые контролируемые или измеряемые параметры технической системы изменяются во времени случайным образом, т.е. являются случайными процессами. Фиксируя значения случайного процесса, получают систему случайных величин.

Случайной называют величину, определённой физической размерности, принимающей в результате эксперимента то или иное числовое значение, которое из условий проведения эксперимента нельзя предсказать заранее.

Случайные величины, рассматриваемые далее, будут обозначаться прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z, а их возможные значения строчными – x, y, z. Если случайная величина Х может принять три возможных значения, то они будут обозначены, как, x₁, x₂, x₃.

2.2.2 Числовые характеристики случайных величин

Для характеристики случайной величины на практике используются числовые характеристики, которые описывают её суммарно.

Наиболее употребительными числовыми характеристиками являются среднеарифметическое значение , математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

Если среди п событий случайная величина x_i повторяется раз п_i, то среднеарифметическое значение этой величины будет равно:

.

Если вместо эмпирических частот использовать их вероятности – р_i, то эта формула даст другую характеристику – математическое ожидание М(Х), т.е для дискретной случайной величины математическое ожидание равно:

.

Математическое ожидание приближённо равно среднему значению случайной величины, но они различаются. Например, есть 5 измерений одной выборки: х₁=1; х₂=2; х₃=3; х₄=4; х₅=5 с вероятностью р₁=0,1; р₂=0,15; р₃=0,45; р₄=0,3; р₅=0. В этом случае среднее арифметическое будет равно =15/5=3,0; а математическое ожидание М(Х)=10,1+20,15+30,45+40,3+50=2,95.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание может быть рассчитано по формуле: .

Если систематические погрешности измерений исключены, то истинное значение измеряемой величины равно математическому ожиданию.

Мерой рассеяния (точности измерений) случайной величины относительно её математического ожидания является дисперсия D(X) и среднеквадратическое отклонение (Х).

Дисперсия D(X) показывает, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания. Её рассчитывают как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Для дискретной случайной величины дисперсия равна .

Для непрерывной – .

Например, для рассматриваемого выше примера D(X)=(1-2,95)²0,1+(2-2,95)²0,15+(3-2,95)²0,45+(4-2,95)²0,3+(5-2,95)²0=0,83.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – это квадратный корень из дисперсии:

.

Рассмотренные числовые характеристики случайной величины обладают следующими свойствами:

М(с)=с; D(c)=0;

М(сХ)=сМ(Х); D(cX)=c²D(X);

М(а+bX)=a+bM(X); D(a+bX)=b²D(X),

где a, b, c – некоторые константы.

2.2.3 Основные функции распределения

Наиболее полную информацию о случайной величине даёт функция её распределения.

При статистической обработке результатов экспериментов стоит задача подбора теоретических кривых распределения к имеющемуся эмпирическому закону распределения случайной величины.

Пусть в результате п измерений случайной величины получен ряд её значений х₁, х₂, …, х_п. При первичной обработке таких рядов их вначале группируют в интервалы и устанавливают для каждого из них частоты W_i(x_i). По Значениям x_i и W_i строят ступенчатую гистограмму частот (см.рис.3) и определяют характеристики эмпирической кривой распределения: среднеарифметическое значение , дисперсию и среднее квадратическое отклонение , которые соответствуют значениям этих параметров для теоретических распределений случайной величины.

Рис.3 Общий вид распределения случайных величин

При решении задач практики могут иметь место различные виды распределений случайной величины. Рассмотрим только наиболее употребительные виды распределений.

Нормальное распределение (Гаусса). Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Нормальное распределение полностью характеризуется двумя параметрами: а и . Для задания этого распределения достаточно знать эти два параметра. На рис.4,а представлен общий вид кривой нормального распределения.

Для упрощения математических выражений вводится нормированная величина   . Эти переменные подставляются в формулу математического ожидания и среднего квадратического отклонения, в результате для этого отклонения получается: М(Х)=а, D(X)=², (X)=.

Нормальное распределение с параметрами а=0 и =1 называется нормированным. Оно описывается уравнением . На рис.4,б показано нормированное распределение. При изменении а (математического ожидания) график смещается вдоль оси Ох, при возрастании  рассеяние увеличивается, максимальная ордината кривой убывает , а сама кривая становится более пологой (рис.5). Таким образом, чем меньше , тем больше сходимость результатов измерений, а ряд измерений более точен, т.е. большинство измерений мало отличается друг от друга. Отклонения  соответствуют точкам перегиба кривой (заштрихованная область). Вероятность того, что случайные величины не выйдут за эти пределы составляет 0,683.

а) б)

рис.4 Общий вид кривой нормального распределения

рис.5 Характер рассеивания кривой нормального распределения

Распределение ² (хи-квадрат). Это распределение суммы квадратов независимых случайных величин, подчинённых стандартному нормальному закону распределения.

Обозначим исходные независимые случайные величины буквами Х₁, Х₂, …, Х_n, а сумму их квадратов _i ², т.е. _п²= Х₁² +Х₂²+ …+Х_n².

Число слагаемых в этой формуле п называется числом степеней свободы _п². Каждая величина в этой формуле Х₁, Х₂, …, Х_n имеет стандартное нормальное распределение. Математическое ожидание величины _п² равно : М(_п²)=п. Дисперсия – D(_п²)=2n.

Распределение _п² полностью характеризуется одним параметром – числом степеней свободы п. С увеличением степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному (рис.6).

Рис.6 Плотность распределения _п²