3.10 Интерпретация уравнения регрессии

При наличии адекватного уравнения приближенной регрессии проводят его интерпретацию (толкование или объяснение полученной математической модели). Этот этап эксперимента обычно состоит из следующих этапов.

1. Оценка влияния каждого из входных факторов объекта исследования на выходной параметр (параметр оптимизации) – анализ коэффициентов при всех линейных эффектах.

Количественной мерой влияния отдельного фактора является его модуль: .

Характер влияния входного фактора на отклик проявляется через знак коэффициента регрессии. Знак «+» свидетельствует о том, что с увеличением значения анализируемого входного фактора будет расти и величина выходного параметра системы; знак «–» означает, что увеличение значения данного фактора ведёт к уменьшению параметра оптимизации.

2. Интерпретация коэффициентов при парных взаимодействиях факторов.

Взаимодействие между входными факторами является существенным, если при изменении сочетания уровней этих факторов изменяется значение параметра оптимизации.

Характер влияния парных взаимодействий на выходной параметр системы также определяется знаком соответствующего коэффициента регрессии.

Если коэффициент имеет знак «+», то одновременное увеличение или уменьшение данных факторов вызывает увеличение выходного параметра. Для его уменьшения необходимо одновременно изменять величины факторов в различных направлениях.

Если эффект взаимодействия имеет знак «–», то одновременно увеличение или уменьшение факторов вызывает уменьшение выходного параметра.

Для его увеличения необходимо одновременно изменять величины данных факторов в разных направлениях.

Интерпретация коэффициентов при взаимодействиях более высокого порядка, как правило, не проводится из-за сложности понимания их физической сущности.

После интерпретации результатов моделирования переходят к принятию решений о дальнейших исследованиях. Наиболее часто возможны следующие ситуации.

1 Если линейная модель адекватна и коэффициенты регрессии значимы, то можно либо закончить исследование, либо продолжить с целью подробного исследования области оптимума.

2 Если линейная модель адекватна, а большая часть коэффициентов уравнения регрессии незначима, то можно либо изменить интервал варьирования факторов, либо отсеять незначимые факторы, либо увеличить число параллельных опытов, а если область оптимума близка, то можно закончить исследования.

Следует отметить, что изменение интервалов варьирования приводит к изменению коэффициентов регрессии. Абсолютные величины коэффициентов регрессии увеличиваются с увеличением интервалов. Не изменяются лишь знаки коэффициентов, однако и они могут измениться на противоположные, если при поиске оптимума осуществляется переход через экстремальную точку.

3 Если линейная модель адекватна, а все коэффициенты уравнения регрессии незначимы, кроме b₀, необходимо либо увеличить точность эксперимента, либо расширить интервалы варьирования. Если область оптимума близка, то можно закончить исследование.

4 Если линейная модель неадекватна, это значит, что не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. В этом случае изменяют (уменьшают) интервалы варьирования, выбирают другую точку в качестве базового уровня, либо используют нелинейную модель. Если область оптимума близка, то можно закончить исследование.

5 Особый случай имеет место при использовании насыщенных планов. При значимости всех коэффициентов (линейных и нелинейных) ничего нельзя сказать об адекватности модели, так как в этом случае невозможно рассчитать дисперсию адекватности, в силу того, что число степеней свободы будет равно нулю.

В этом случае при близости области оптимума можно закончить исследование, а в противном случае – продолжить.

Для продолжения исследования с целью изучения области оптимума можно воспользоваться, например, методом «крутого восхождения».

Закончив интерпретацию уравнения регрессии и приняв решение на окончание исследований, целесообразно осуществить обратный переход от кодированных факторов Х_i к натуральным переменным х_i. Переход можно осуществить на основе линейного преобразования вида

,

где х_i – значение i-го входного фактора в натуральном масштабе;

х_i0 – базовый уровень i-го входного фактора в натуральном масштабе;

Δх_i – интервал варьирования i-го входного фактора в натуральном масштабе.

Следует отметить, что после осуществления обратного перехода заменятся величины и знаки коэффициентов уравнения приближенной регрессии и пропадет возможность интерпретации влияния факторов по величине и знакам данных коэффициентов. Однако появляется возможность исследования поведения выходного параметра y в зависимости от натуральных величин входных факторов без проведения экспериментов с изучаемой системой.

Пример.

Объект исследования – трансформатор тока (ТТ), выполненный на торроидальном сердечнике с немагнитным зазором. Благодаря немагнитному зазору ТТ обладает линейной выходной характеристикой и применяется в качестве датчика тока. Выходной параметр ТТ (у) – напряжение на вторичной обмотке. Независимыми переменными (входными факторами) являются: ток в первичной обмотке I1 (х₁), число витков вторичной обмотки w₂ (х₂), ширина немагнитного зазора  (х₃), сопротивление нагрузки вторичной обмотки трансформатора Rн (х₄). В результате эксперимента необходимо получить математическую модель ТТ, связывающую указанные факторы и отклик и позволяющую получить значение выходного параметра при воздействии совокупности факторов у=f(I1, w₂, , Rн). Цель – обосновать оптимальные значения параметров ТТ.

Для получения уравнения регрессии применён ПФЭ типа 2⁴, так он даёт максимум информации об объекте при минимуме затрат.

При указанном типе эксперимента переменные устанавливаются на двух уровнях. Предположим, что в результате предварительного изучения ТТ получены интервалы варьирования факторов и пределы их изменения.

Уровни факторов	Факторы
	х1 (I1)	х2 (w2)	х3 ()	х4 (Rн)
Верхний +1	600	600	2,5	100
Основной 0	400	400	1,65	56
Нижний -1	200	200	0,80	12

.

.

.

.

Предположим, что проведён эксперимент по приведённому ниже плану.

Оценки изменчивости отклика в дублирующих опытах: .

; S₂²=0,1004; S₃²=0,0063; S₄²=0,0005; S₅²=0,0125; S₆²=0,0648; S₇²=0,0095; S₈²=0,0631; S₉²=0,0882; S₁₀²=0; S₁₁²=0,0824; S₁₂²=0,2339; S₁₃²=0,0055; S₁₄²=0,0026; S₁₅²=0,045; S₁₆²=0,2586.

Критерий Кохрена равен kкр=0,2586/0,9749=0,2652<k_кртабл(0,95; 1; 16)=0,45. Дисперсии однородны. Опыты проведены с одинаковой точностью.

В соответствие с формулой определены коэффициенты уравнения регрессии b₀, b₁, … b_34. Получена математическая модель:

Для каждого сочетания факторов рассчитано прогнозируемое значение отклика . Определены суммы квадратов для подсчёта дисперсии адекватности (для случая, когда число параллельных опытов одинаково): .

1,3452

.

Дисперсия адекватности:

= .

= .

Дисперсия воспроизводимости – среднее арифметическое дисперсий изменчивости:

= ≤F_табл(0,05 , 16, 16)=0,51.

= ≤F_табл(0,05 , 7, 16)=2,66.

Значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента t_табл(0,05, 16)=1,75.

Средняя квадратическая ошибка коэффициентов равна:

= =0,044,

Доверительный интервал для коэффициентов:

bi=Sbitтабл=0,0441,75=0,077.

Все коэффициенты значимы, так как доверительный интервал меньше этих коэффициентов: bi< bi.

Из уравнения видно, что при увеличении переменной Х3 () функция отклика (U2) уменьшается. При увеличении других факторов: Х1 (I1), X2 (w1) и X3 (Rн) функция отклика растёт.

Для получения оптимальных соотношений между факторами надо искать экстремальные значения частных производных: .

№	Х0	Факторы										Отклик				(уi1- )2	(уi2- )2	(уi1- )2	(уi2- )2	( - )2
		Х1	Х2	Х3	Х4	Х1Х2	Х1Х3	Х1Х4	Х2Х3	Х2Х4	Х3Х4	уi1	yi2
	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	2,353	2,413	2,383	2,297	0,0009	0,0009	0,00314	0,01346	0,0074
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	4,412	4,86	4,636	3,992	0,05018	0,05018	0,1764	0,75342	0,41474
	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	3,0	3,112	3,056	3,171	0,00314	0,00314	0,02924	0,00348	0,01322
	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	7,931	7,901	7,916	7,831	0,00022	0,00023	0,01	0,0049	0,00722
	+1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	1,622	1,464	1,543	1,822	0,00624	0,00624	0,04	0,12816	0,07784
	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	3,466	3,106	3,286	3,401	0,0324	0,0324	0,00423	0,08703	0,01322
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	2,132	2,000	2,086	2,232	0,00212	0,0074	0,01	0,05382	0,02132
	+1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	6,198	5,843	6,016	5,93	0,03312	0,02993	0,07182	0,00757	0,0074
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	3,320	2,9	3,110	3,18	0,0441	0,0441	0,0196	0,0784	0,0049
	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	6,175	6,175	6,175	6,16	0	0	0,00022	0,00022	0,00022
	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	8,609	8,203	8,406	8,425	0,04121	0,04121	0,03386	0,04928	0,00036
	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	17,108	16,424	16,766	16,807	0,11696	0,11696	0,0906	0,14669	0,00168
	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	2,105	2,0	2,053	2,1	0,0027	0,00281	2,5E-05	0,01	0,00221
	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	4,872	4,8	4,836	4,687	0,0013	0,0013	0,03422	0,01277	0,0222
	+1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	4,503	4,203	4,353	4,11	0,0225	0,0225	0,15445	0,00865	0,05905
		+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	12,142	11,424	11,763	11,903	0,14364	0,11492	0,05712	0,22944	0,0196
																0,97493		2,32223		1,3452

Матрица ПФЭ типа 2⁴