3.5 Симплекс-планирование

Симплекс-планирование применяется для решения задач оптимизации, т.е. нахождения оптимальных условий протекания каких-либо процессов.

При планировании экспериментов, например, в условиях производства, исследователь не все факторы может контролировать в процессе выполнения опытов (z_i), спонтанное изменение этих параметров z_i смещает оптимум контролируемых факторов (х_i). Стоит задача организовать производственный процесс так, чтобы можно было бы не только получить готовую продукцию, но и информацию о смещении оптимальных сочетаний факторов х_i, обусловленных изменением неконтролируемых переменных z_i. Для решения этой задачи разработаны методы экспериментального поиска оптимума в промышленных условиях. Одним из таких методов является симплекс-планирование. Он относится к неградиентным методам поиска оптимума.

Достоинством симплекс-планирования является то, что имеются чёткие правила принятия решения о том, как изменять условия эксперимента для нахождения оптимума. Это управление экспериментом с эмпирической обратной связью.

При симплекс-планировании движение в область оптимума в факторном пространстве осуществляется перемещением симплекса. Это перемещение заключается:

• во-первых, в последовательном отбрасывании вершин с минимальными значением параметра оптимизации (проводятся измерения отклика во всех вершинах симплекса, сопоставляются полученные значения у₁, …, у_k+1, выделяется наименьшее значение у_i^*=min) ;

• во-вторых, в построении нового симплекса на оставшейся грани с новой вершиной, которая является зеркальным отображением отброшенной (выделяется вершина симплекса, где отклик минимален и определяется новая вершина, представляющая собой зеркальное отражение выделенной вершины относительно грани, общей обоим симлексам).

При таком планировании движение к оптимуму ведётся после каждого опыта, начиная с (k+1). В результате всех опытов образуется цепочка симплексов, перемещающихся в область оптимума по некоторой ломаной линии (рис.15).

Рис.15 Движение по поверхности отклика при симплекс-планировании

Координаты новой вершины (или зеркальное отображение наихудшей точки) определяются по формуле:

.

Здесь – координата новой точки; – координата точки с наихудшим значением параметра оптимизации; – среднее из координат всех точек симплекса, кроме наихудшей.

Главное правило, определяющее движение симплекса – это правило отражения. В его основе лежит утверждение о том, что направление градиента функции отклика в среднем близко к направлению наихудшей вершины через центр тяжести противолежащей грани.

Направление, при котором движение симплекса в факторном пространстве осуществляется по прямой линии, называется последовательным движением в область оптимума (рис.15,а). Это самый экономичный по затратам способ достижения оптимума. Он возможен, если экспериментатор предполагает, где находится область оптимума и ошибки опытов минимальны.

В ходе экспериментального поиска оптимума факторов возможна такая ситуация, когда симплекс колеблется относительно одной грани (рис.15,б). Для устранения колебаний возвращаются в исходный симплекс и отбрасывают вершину со вторым наихудшим значением отклика. Это правило может применяться многократно, путём постепенного перебора вершин данного симплекса, пока колебания не прекратятся, и не начнётся перемещение в факторном пространстве.

Другая сложная ситуация, которая может возникнуть может состоять в том, что наихудшее значение отклика будет наблюдаться сразу в нескольких вершинах. Тогда, решение принимается случайным образом. На основе таблицы равномерно распределенных случайных чисел. Случайная последовательность может быть получена с помощью EXEL (выписать в столбец номера вершин, рядом =слчис, затем – упорядочить по возрастанию второй столбец, использовать порядок чисел в первом столбце).

Алгоритм симплексного метода поиска:

1. Построить исходный симплекс в окрестностях начальной точки поиска Х₀. Допустимо применение любого симплекс-плана рассмотренного ранее. Они составляются для нормированных переменных , i=1 ,2, …k, x_i – шаг варьирования, x_i0 – координата начальной точки поиска.

При поиске отдают предпочтение такой разновидности симплексов, расстояние между двумя вершинами которого в нормированном факторном пространстве равно 1. Это – правильный симплекс с единичными рёбрами. При этом начальную точку Х₀ совмещают с одной из вершин симплекса, а сам симплекс ориентируют в пространстве таким образом, чтобы все рёбра выходящие из начальной точки Х₀ составляли одинаковые углы с координатными осями Х1, Х2.., Хk. Такой симплекс-план имеет следующий вид.

Х= , где .

Значения коэффициентов для разных значений факторов

k	2	3	4	5	6	7
µ	1,183	1,333	1,463	1,581	1,685	1,783

Например, при k=2 матрица планирования будет иметь вид

X= .

2. Реализация опытов в вершинах исходного симплекса и получение соответствующих значений отклика у₁, у₂,… у_k+1.

3. Сравнение результатов между собой и выделение вершины с наихудшим для оптимума значением отклика у^*i₊₁.

4. Определяются координаты новой точки.

5. Проведение опыта в точке .

Критерием достижения экстремальной области служит факт прекращения поступательного движения и переход к вращению вокруг определённой вершины (рис.15,в). Для более точного определения того, что область оптимума достигнута, рекомендуется продолжить движение до тех пор, пока число симплексов с одной и той же вершиной не превысит некоторого максимального значения . Например при k=2 рекомендуемое число равно 4. Следовательно, можно говорить о вращательном движении вокруг одной вершины. Если в точке вращения значение отклика максимально, то это есть свидетельство достижения экстремума.

Симплексный метод прост в реализации и не требует сложных расчётов. Он достаточно помехоустойчив и эффективен.

Пример поиска экстремума для двух переменных с помощью описанного метода представлен на рисунке 16.

Рис.16 Поиск максимума симплексным методом