3.2 Полный факторный эксперимент

Однофакторные эксперименты, как было показано на рассмотренном выше примере, при больших объёмах исследования неэффективны. Поскольку в этом случае варьируется только один фактор, все остальные стабилизируются на определённых уровнях. Устанавливается зависимость параметра оптимизации сначала только от одного фактора и определяется локальный оптимум. Затем аналогичная процедура повторяется для другого фактора и т.д. При такой схеме эксперимент – длительный и громоздкий процесс, в течение которого могут измениться условия эксперимента (износ аппаратуры, изменения в сырье и т.д.). Альтернатива – полный факторный эксперимент.

Полным факторным (ПФЭ) называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов.

Количество факторов входит в название эксперимента – двухфакторный, трёхфакторный и т.д.

ПФЭ условно обозначают в виде степенного выражения – n^k, где показатель степени k – это число факторов, а основание степени п – количество уровней, на которых варьируются значения факторов. Например, «ПФЭ 2³» означает, что в ПФЭ исследуются три фактора на двух уровнях.

Количество неповторяющихся опытов будет определяться формулой:

N=n^k.

1) После выбора области определения факторов задают верхний x_imax, нижний x_imin и основной (базовый) x_i0 уровень факторов:

x_i0=(x_imax+ x_imin)/2.

2) Определяют интервал варьирования факторов. Интервал варьирования – это число, имеющее размерность фактора, характеризующее расстояние между наименьшим и наибольшим уровнями фактора:

∆x_i= x_imax - x_imin.

3) При планировании эксперимента проводят преобразование реальных переменных в безразмерные:

Xi=(x_i-x_i0)/∆x_i, о.е.

Благодаря этой процедуре базовый уровень фактора равен нулю, верхний – равен единице, нижний – равен минус единице:

,

,

.

4) Находят число опытов для заданных условий N=n^k.

5) Строят матрицу планирования в виде таблицы.

Например, для ПФЭ типа 2²: N=2²=4. Все возможные сочетания уровней факторов исчерпываются в четырёх опытах.

Матрица планирования ПФЭ типа 2²

№ опыта	Факторы		Отклик
	Х1	Х2	Дублирующие опыты
1	-1	-1	Y11	Y12	Y13
2	+1	-1	Y21	Y22	Y23
3	-1	+1	Y31	Y32	Y33
4	+1	+1	Y41	Y42	Y43

Каждый столбец матрицы планирования – это вектор-столбец, каждая строка – это вектор-строка.

Число уровней факторов зависит от вида математической модели, с помощью которой будут описываться результаты эксперимента y=f(x1, x2, …, xk).

На начальном этапе исследования обычно выбирается наиболее простая линейная модель. Она представляет собой алгебраический полином первой степени. Например, при исследовании влияния двух факторов эта модель будет иметь вид:

у=b₀+b₁·x₁+b₂·x₂.

Коэффициенты данной модели могут быть определены при реализации плана 2². При этом для расчёта члена b₀ в матрицу планирования вводится ещё один столбец фиктивной переменной Х0, который принимает во всех опытах значение +1.

№ опыта	Факторы			Отклик
	Х0	Х1	Х2	Дублирующие опыты
1	+1	-1	-1	Y11	Y12	Y13
2	+1	+1	-1	Y21	Y22	Y23
3	+1	-1	+1	Y31	Y32	Y33
4	+1	+1	+1	Y41	Y42	Y43

В дальнейшем будет показано, что применение безразмерных факторов сводит процесс выявления математической модели к простым математическим процедурам, а количественные оценки влияния факторов становятся очевидными путём сравнения значений коэффициентов при преобразованных безразмерных факторах.

Часто бывает так, что эффект от действия одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить не только влияние отдельных факторов на отклик, но и их взаимодействие. При этом математическая модель исследуемого процесса будет нелинейной. Например, при изучении влияния двух факторов:

у=b₀+b₁·x₁+b₂·x₂+ b₁₂·x₁·x₂.

Для расчёта коэффициента b₁₂ потребуется расширенная матрица планирования двухфакторного эксперимента.

№ опыта	Факторы				Отклик
	Х0	Х1	Х2	Х1·Х2	Дублирующие опыты
1	+1	-1	-1	+1	Y11	Y12	Y13
2	+1	+1	-1	-1	Y21	Y22	Y23
3	+1	-1	+1	-1	Y31	Y32	Y33
4	+1	+1	+1	+1	Y41	Y42	Y43

Знаки столбца Х1·Х2 определяются по правилу перемножения вектор-столбцов Х1 и Х2.

Рассмотренные матрицы обладают следующими важными свойствами:

I) Свойство симметричности относительно центра плана – алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора (за исключением фиктивного Х0) равно нулю:

, i=1…k

i – номер фактора,

m – номер опыта,

N – число опытов.

II) Свойство нормировки – сумма квадратов элементов каждого вектор-столбца, в том числе и фиктивного равно числу опытов:

, i=0, 1…k

III) Свойство ортогональности матрицы планирования – сумма произведений двух вектор-столбцов равна нулю:

, i=0, 1…k; jk.

Ортогональность матрицы позволяет получить независимые оценки коэффициентов, т.е. величина любого коэффициента не зависит от того, какие значения имеют другие коэффициенты.

IV) Свойство ротабельности матрицы планирования – дисперсии прогнозируемых значений выходного параметра одинаковы на равных расстояниях от базового уровня.