2.4.2 Двухфакторный дисперсионный анализ

Этот вид дисперсионного анализа используется для оценки степени влияния двух факторов – х1 и х2, действующих одновременно и независимо друг от друга_.

Для оценки действия каждого из факторов проводится эксперимент, в ходе которого один фактор поддерживается на п уровнях, а второй на r уровнях.

Таблица наблюдений

х1 х2	х21	х22	…	х2r
х11	у(111 у(11)2 … у(11)т	у(12)1 у(12)2 … у(12)т	…	у(1r)1 у(1r)2 … у(1r)т
х12	у(21)1 у(21)2 … у(21)т		…	у(2r)1 у(2r)2 … у(2r)т
…	…	…	у(ij)1 … у(ij)k … у(ij)т	…
х1п	у(п1)1 у(п1)2 … у(п1)т	у(п2)1 у(п2)2 … у(п2)т	…	у(пr)1 у(пr)2 … у(пr)т

Для каждого сочетания i-го уровня фактора х₁ и j-го уровня фактора х₂ выполняются т_ij дублирующих опытов. Обычно их количество одинаково для всех уровней т_ij=т, поскольку при разном числе опытов расчёт значительно усложнится. Результаты заносятся в таблицу наблюдений.

Результат любого наблюдения, соответствующего определённому сочетанию уровней факторов, можно рассматриваться как сумма следующих составляющих:

,

где – общее среднее отклика;

– отклонение отклика, вызванное первым фактором на i-том уровне в k-том опыте;

– отклонение отклика, вызванное вторым фактором на j-том уровне в k-том опыте;

– отклонение отклика, вызванное взаимодействием факторов в k-том опыте;

– отклонение отклика, вызванное неконтролируемыми причинами в k-том опыте.

1. Для оценки влияния факторов, т.е. отклонений, вызываемых их изменениями, вычисляются среднее значения отклика в каждой ячейке матрицы наблюдений на i-ом уровне фактора х1 и j-ом уровне фактора х2:

Полученные значения вносятся в таблицу обработки результатов эксперимента.

2. Рассчитываются выборочные дисперсии также для каждой серии дублирующих измерений, т.е. на i-ом уровне фактора х1 и j-ом уровне фактора х2.

.

Например, для х1₁ и х2₁:

Таблица обработки результатов

х2 х1	х21	х22	…	х2r
х11	11	12	…	1r
х12	21	22	…	2r
…	…	…	ij	…
х1п	n1	n2	…	nr

3. Проверяется однородность полученного ряда дисперсий по критерию Кохрена. При этом выполняется проверка неравенства

 k_кртабл(; k1;k2),

где  – уровень значимости, обычно =0,05 (при этом доверительная вероятность =1-=1-0,05=0,95), k1=т-1 – число степеней свободы дисперсии числителя, k2=nr – число степеней свободы, равное количеству суммируемых дисперсий (выборок).

4. Вычисляются средние значения отклика для каждого столбца и каждой строки.

и

Результаты заносятся в нижнюю строку и правый столбец таблицы обработки результатов.

5. Рассчитывается общее среднее эксперимента. Этот расчёт выполняется 2 раза: по правому столбцу и нижней строке. Результаты должны быть равны.

6. Выполняется расчёт оценок четырёх дисперсий.

6.1 Средней дисперсии воспроизводимости, характеризующей рассеяние отклика из-за неконтролируемых факторов

.

6.2 Дисперсии изменчивости отклика из-за влияния фактора х1:

.

6.3 Дисперсии изменчивости отклика из-за влияния фактора х2:

.

6.4 Дисперсии изменчивости отклика из-за влияния взаимодействия факторов х1 и х2:

.

7 Оценивается значимость влияния факторов по критерию Фишера.

Для фактора х1: F_набл=  F_табл(, f1, f2), где f1=п-1, f2=п r(т-1).

Для фактора х2: F_набл=  F_табл(, f1, f2), где f1= r-1, f2=п r(т-1).

Для взаимодействия факторов х1 и х2: F_набл=  F_табл(, f1, f2), где f1=(п-1)(r-1), f2=п r(т-1).