2.4.1 Однофакторный дисперсионный анализ

При однофакторном дисперсионном анализе выявляется влияние одного фактора х на математическое ожидание функции отклика М(у), равное общему среднему отклика ( ). Результат любого измерения представляется в виде следующей модели:

,

где – общее среднее отклика;

– отклонение отклика, вызванное изменением контролируемого фактора;

– отклонение отклика, вызывное неконтролируемыми факторами.

Обычно с помощью данного метода определяется влияние некоторого качественного фактора на отклик, например влияние различных сортов сырья на качество продукции.

Предположим, что стоит задача по выявлению влияния технологического процесса по изготовлению однотипных насосов центробежного типа (фактор х) на п разных заводах-изготовителях на его производительность (у). Если соблюдение техпроцесса не влияет на выходные характеристики насоса, то среднее значение и оценка дисперсии выходного параметра насоса (производительность) не должны зависеть от завода-изготовителя.

При дисперсионном анализе в ходе эксперимента фактор поддерживают на п разных уровнях. На каждом уровне п_i проводятся по т_i дублирующих опытов. Количество дублирующих опытов для каждого уровня может быть одинаковым. Результаты эксперимента представляются в виде специальной таблицы – матрицы наблюдений.

Матрица наблюдений

Номер уровня фактора	Уровень фактора хi	Наблюдения, yij	Число дублирующих опытов, тi
1	х1	y11, y12,…, y1т1	т1
2	х2	y21, y22,…, y2т2	т2
…	…	…	…
п	хп	yп1, yп2,…, yптт	тп

В нашем примере исследования должны проводиться для каждого из заводов-изготовителей, выпускающих однотипные центробежные насосы. Предположим, что имеется 4 завода изготовителя, тогда будет 4 уровня факторов (х₁, х₂, х_3, х₄). Пусть с каждого завода случайным образом выбирается по 5 насосов. Тогда для каждого уровня будет по 5 наблюдений (т₁=т₂=₃ =т₄ =т₅ =т=5) за производительностью насосов (y_ij).

В нашем примере матрица наблюдений будет выглядеть следующим образом.

Уровень фактора	Наблюдения					Число дублирующих опытов
	yi1	yi2	yi3	yi4	yi5
х1	600	420	510	435	495	5
х2	570	450	630	450	450	5
х3	690	570	600	570	600	5
х4	450	510	450	510	540	5

1. Перед началом исследования проверяются предпосылки дисперсионного анализа указанные выше.

Например, из априорных данных известно, что результаты наблюдений являются независимыми случайными величинами, имеющими нормальный закон распределения. Опыты проводятся на одном стенде, в одинаковых условиях, равноточны, случайные ошибки подчиняются нормальному закону. В противном случае осуществляется проверка нормального закона распределения функции отклика, например, по правилу трёх сигм.

2. По результатам эксперимента для каждой серии дублирующих опытов определяется среднее из наблюдений отклика для каждого уровня фактора х_i:

.

Для нашего примера

,

,

,

.

3. Затем определяются оценки выборочных дисперсий выходного параметра для каждого i-го уровня фактора, характеризующие разброс отклика относительно среднего значения отклика на i-том уровне факторов. Эти оценки характеризуют изменчивость отклика независимо от фактора, за счёт неконтролируемых воздействий :

.

У нас эти дисперсии равны

=7200, =2430, =1620.

4. После чего проверяют однородность ряда дисперсий, например, при помощи критерия Кохрена. Это делается для того, чтобы убедиться в достоверности эксперимента и проверить воспроизводимость результатов (повторяемость в определённых пределах измерений с заданной доверительной вероятностью).

Суть такой проверки сводится к следующему. Имеется несколько серий параллельных опытов. Здесь число серий равно числу уровней фактора. Например, у нас таких серий опытов п=4. Для каждой серии вычисляются среднеарифметическое значение функции отклика и так называемая дисперсия изменчивости . Расчётный критерий Кохрена равен: , где max – наибольшее значение дисперсии в сериях параллельных опытах.

Опыты считаются воспроизводимыми, если полученное значение меньше табличного k_крk_кртабл(; k1;k2).

Табличное значение коэффициента Кохрена определяется для заданного уровня значимости, обычно =0,05 (доверительной вероятности =1-) и числа степеней свободы k1 и k2, где k1=т_i-1 – число степеней свободы дисперсии числителя, а k2=п – число степеней свободы, равное количеству выборок.

Примечание: Дисперсии подчиняются распределению ² . Проверка однородности предполагает вычисление максимальной доли дисперсий среди всех дисперсий. Она показывает наличие выбросов. Если вычисленное значение критерия Кохрена меньше критического, то результаты эксперимента – равноточные, их можно использовать в дальнейших расчётах. Если больше, то – неравноточные. Эксперимент надо повторить.

В нашем примере значение критерия Кохрена равно:

Табличное значение критерия для k1=т_i-1=5-1=4 и k2=4: k_кртабл(0,05;4;4)=0,6287.

Так как k_кр=0,4402k_кртабл=0,6287, то оценки дисперсий однородны, следовательно, можно проводить дисперсионный анализ.

5. После подтверждения гипотезы об однородности дисперсий выборок, приступают непосредственно к анализу дисперсий.

Для этого сначала определяют общее среднее по всем опытам:

,

– общее количество опытов (измерений).

В примере

525.

Затем рассчитывают оценку факторной дисперсии, характеризующей рассеяние отклика, вызванное контролируемым фактором х:

.

А также оценку средней дисперсии воспроизводимости, характеризующей рассеяние функции отклика, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е помехами_ij:

.

Для выявления влияния фактора х на функцию отклика находят отношение дисперсий , которое соответствует наблюдаемому критерию Фишера F_набл= .

Это значение сравнивается с табличным F_табл(; f1; f2) для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы дисперсий числителя f1=п-1 и знаменателя f2=п(т-1)=N-п, где – общее количество испытаний.

Если F_набл F_табл(; f1; f2), т.е. факторная дисперсия и дисперсия, вызванная влиянием помех значимо различаются друг от друга, то влияние анализируемого фактора признаётся значимым (существенным).

В нашем случае оценка дисперсии, характеризующая рассеяние отклика (производительности насосов) за счёт влияния техпроцесса завода-изготовителя:

Оценка средней дисперсии воспроизводимости, характеризующей рассеяние функции отклика, вызванное влиянием других факторов на производительность

.

Расчётное значение критерия Фишера:

F_набл= =1490/4089=3,6537.

По таблице F-распределения находим F_табл(0,95; f1=3; f2=20-4=16)=3,24.

F_набл=3,6537 F_табл(0,95;3; 16)=3,24.

Таким образом, влияние отклонений в технологии изготовлении центробежных насосов на их производительность следует признать значимым.