4. Побудова епюри згинаючих моментів

Складаємо рівняння рівноваги моментів для ділянки АВ:

М_I = F x, 0 ≤ х ≤ а;

М_{I x=0}= 0; М_{I х=а} = Fa = 1∙0,1 = 0,1 кН∙м.

Складаємо рівняння рівноваги моментів для ділянки ВС:

M_II = F(a + х) - m - qx²/2, 0 ≤ x≤ b,

М_{II x=0} = Fa - m = 1∙ 0,1 - 0,5 = - 0,4 кН·м /3.9/

Через те, що в т. В діє зовнішній момент m, на епюрі згинаючих моментів в цій точці буде стрибок, що дорівнює зовнішньому моменту:

М _х=ь = F(a + b) - m - qb²/2 = 1(0,1 + 0,2) - 0,5 – 20 ∙ 0,2²/2 = = -0,6 кН·м

На ділянці ВС діє рівномірно розподілене навантаження, тому на цій ділянці епюра згинаючих моментів є парабола з опуклістю, що напрямлена назустріч розподіленому навантаженню.

За /3.9/ визначимо згинаючий момент у точці D, де х = 0,05 м:

M_D = 1(0,1 + 0,05) - 0,5 – 20 ∙ 0,05²/2 = - 0,375 кН∙м.

У зв'язку з тим, що в кінцевому перерізі балки /т.С/ діє реактивний момент, в цій точці згинаючий момент повинен дорівнювати (з умови рівноваги) реактивному моменту, але з протилежним знаком:

М_{II x=b} = - М_с.

5. Визначення розмірів поперечного перерізу балки

Із побудованої епюри згинаючих моментів видно, що небезпечний переріз балки буде в точці С, через те що згинаючий момент тут має максимальне за модулем значення:

|М_зг|_с = 0,6 кН∙м = 0,6· 10 ⁶ Н∙мм.

Скористаємося рівнянням /3.6/ і визначимо діаметр балки для небезпечного перерізу:

Приймаємо згідно стандарту d = 40 мм.

Приклад 2 виконання Завдання № 3. З умови міцності за нормальними напруженнями згину, визначити діаметр постійного перерізу балки (див. рис.3.3 ) попередньо визначивши значення поперечних сил Q та згинаючих моментів Мзг та побудувавши їх епюри , якщо F₁= l кН; F₂ = 2 кН; q₁ = 4 кН/м; q₂ = 6 кН/м; М = 1 кН-м;

а = 0,6 м; b = 1 м; с = 0,4 м; [σ_u] = 80 Мпа.

Розв'язання.

1. Визначення реакцій в опорах.

Довільно спрямуємо реакції.

Складемо рівняння рівноваги:

Знак “+” при R_a вказує на те, що напрям цієї реакції попередньо був обраний правильно.

Перевірка правильності визначення реакції в опорах:

ΣР_Yi = 0;

ΣР_Yi = F₁- q₁∙а + R_A + R_b + q₂ ∙c - F₂ = 1 - 4-0,6 + 0,2 + 0,8 + 6∙0,4-2 = 0.

Таким чином, реакції визначені вірно.

2.Визначення поперечних сил Q

Для визначення Q розбиваємо балку на ділянки. Кожній ділянці відповідає свій закон зміни Q (межами ділянок є точки прикладення зосереджених сил, а також початок і кінець розподіленого навантаження). Розглянута балка має три ділянки.

Ділянка 1 (розглядаємо балку зліва направо).

Суміщаємо початок відліку «0» для х з крайньою лівою точкою ділянки і для будь-якого перерізу запишемо рівняння для Q₁.

Q₁ = F₁-q₁∙x; 0 ≤ x ≤ a,

При х = 0, Q₁ = F₁ = 1 кH; При x = a; Q₁ = F₁ – q₁∙a = 1 - 4∙0,6 = -1,4 кH.

Будуємо епюру Q₁ згідно рівняння у виді похилої прямої (рис.3.3).

На першій ділянці епюра Q проходить через нуль. Цій точці ділянки відповідає максимальне значення згинаючого моменту (згідно залежностей /3.1/ і /3.2/) . Знайдемо координату точки (х₀₁)., де Q₁ = 0

таким чином F₁ – q₁∙ х₀₁ = 0

х₀₁ = F₁/ q₁ = 1/4 = 0,25 м.

Ділянка 2 (розглядаємо балку зліва направо).

Початок відліку для х суміщаємо з крайньою лівою точкою ділянки та для довільного перерізу запишемо рівняння Q_ІІ.

Q_ІІ = F₁ – q₁∙a + R_A Q_ІІ = 1-4∙0,6 + 0,2 = 1,2 к H.

На другій ділянці Q не залежить від х; таким чином на цій ділянці епюра Q окреслена прямою лінією паралельною осі х. Будуємо епюру Q_ІІ (рис. 3.3).

Ділянка 3 (балка розглядається зправа наліво, : т. х = 0 суміщена з правим кінцем балки; згідно правила, знаки сил змінюються на протилежні).

Початок відліку х суміщаємо з крайньою правою точкою ділянки та для довільного перерізу записуємо рівняння для Q_ІІІ.

Q_ІІІ = F₂ - q₂∙x, 0 ≤ х ≤ с,

При х = 0, Q_ІІІ = F₂ = 2 кН; при х = с , Q_ІІІ = F₂ - q₂∙c = 2 - 6∙0,4 = 0,4 кН.

На третій ділянці Q теж проходить через нуль. Цій точці на третій ділянці відповідає мінімальне значення згинаючого моменту (згідно залежностей /3.1/ і /3.2/) Знаходимо координату цієї точки.

При х = х₀₃, Q_ІІІ ⁼ 0; таким чином F₂ - q₂- х₀₃ = 0.

х₀₃ ⁼ F₂/q₂ = 2/6 ≈ 0,33 м.