57.Теорія масового обслуговування

Теорію масового обслуговування (теорію черг) найчастіше використовують у процесі прийняття рішень у сфері обслуговування, коли необхідно задовольнити певний попит, який є нерегулярним, тобто його неможливо передбачити.

Такими методами можна, наприклад, визначити кількість касирів у банку, кількість ремонтних організацій та ін.

Теорією масового обслуговування вважають розділ прикладної математики, який вивчає випадкові процеси. Предметом її дослідження є імовірнісні моделі фізичних систем обслуговування, в яких у певні моменти часу виникають потреби на обслуговування і є можливість такого обслуговування з урахуванням випадкового характеру попиту на обслуговування і самого обслуговування. Теорія масового обслуговування

започаткована на початку ХХ ст. з метою вирішення задач телефонії, у яких визначалось число ліній для задовільного обслуговування абонентів при випадковому характері моменту

часу надходження замовлення на обслуговування та тривалості самого обслуговування. Задачі, аналогічні за математичною формою задачам телефонії, виникають під час розрахунків параметрів у системах масового обслуговування: підприємства побутового обслуговування, аеродроми, шляхопроводи, багатоверстатне виробництво, системи автоматизованого керування виробництвом і транспортом тощо.

Суть базової елементарної моделі системи масового обслуговування полягає у тому, що до системи епізодично надходять заявки на обслуговування, причому проміжки часу між

моментами надходження замовлень доволі різної величини. Система має один абсолютно надійний канал обслуговування. Тривалість виконання (обслуговування) замовлення є також випадковою величиною. Закони розподілу випадкових величин вважаються заданими і можуть бути різними. Закон розподілу вхідного потоку і закон розподілу тривалості обслуговування замовлень позначають, відповідно, кодами lλ_вх. і lkλ_обсл, де l –умовний номер закону; k – порядок закону Ерланга, λ – інтенсивність потоку замовлень. Вважають, що момент вивільнення каналу після обслуговування нульового замовлення необхідно позначати через t₀, інтервал моделювання – T, момент надходження – t_j j-го замовлення визначають так:

t_j=t_j-1+η

де η - випадкова величина, яку описують обраним законом розподілу вхідного потоку.

Результатом експерименту над моделлю системи масового обслуговування є оцінки математичних сподівань і середньоквадратичних відхилень таких величин як:

1. тривалість перебування обслуженого j-го замовлення у системі τ_ij:

2. тривалість перебування j-го замовлення у черзі τ_2j :

3. довжина черги для j-го замовлення mj :

4. тривалість простою каналу перед обслуговуванням j-го замовлення τ4j :

Використані у цих формулах величини:

– с – загальна кількість виконаних замовлень;

– j^* – загальна кількість замовлень, що надійшли у систему за весь період моделювання;

– τ_1j = τ_2j + τ_3j ;

– τ_2j= t_1j – tj , де момент вивільнення каналу t1j після обслуговування j-го замовлення визначають так:

t_1j = tj + τ_2j + τ_3j,

де τ_3j – тривалість обслуговування j-го замовлення;

– τ_4j = tj – t_lj-1;

– P₁ – імовірність обслуговування замовлення: P₁=

– P₂ – імовірність відмови в обслуговуванні: P₂=1-

– P3 - імовірність обслуговування замовлення без очікування: P₃=

де а – загальна кількість заявок обслужених без очікування;

– P ₄ – імовірність перебування обслуженого замовлення у системі протягом часу, що не перевищує заданого: P₄= , де d-число замовлень, для яких виконується умова τ_1j ≤ τ5 (τ5 –

допустима тривалість перебування замовлення у системі).

Згідно з встановленою дисципліною очікування обслуговування, замовлення, щодо якого наведена умова не виконується, повинна вийти з системи. Розподіл вхідного потоку замовлень може бути досить різноманітним, наприклад: показниковим, Ерланга k-го порядку, Релея, нормальним, рівномірним тощо. Вхідні потоки, описані переліченими законами розподілу, є нерегулярними і ординарними, тобто за нескінченно малий проміжок часу до системи може надійти не більше одного замовлення. Ймовірне також надходження значної кількості замовлень, проміжок часу між якими і реєстрація замовлень будуть випадковими величинами, описаними за певним законом розподілу, який не обов'язково належить до зазначеного переліку.

Системи масового обслуговування за дисципліною очікування у черзі замовлень класифікують на: системи без очікування і з очікуванням; з нескінченним очікуванням і з обмеженнями за тривалістю очікування; з обмеженнями довжини черги і без такого обмеження; з упорядкованою чергою і з абсолютно неупорядкованою чергою; з пріоритетами в обслуговуванні і без таких пріоритетів.

За різновидом дисципліни обслуговування розрізняють одноканальні і багатоканальні системи масового обслуговування. Багатоканальні у свою чергу поділяють на системи з однаковими параметрами каналів обслуговування і з різними параметрами таких каналів. За характером допустимої тривалості обслуговування системи класифікують на такі, що враховують обмеження на тривалість обслуговування і на такі,

що таких обмежень не враховують.

Системи, що враховують можливе виведення з ладу каналів обслуговування, поділяють на такі, що враховують можливість відновлення виведених з ладу каналів і такі, у яких відновлення каналів неможливе.

Усі перелічені системи масового обслуговування є однофазними у тому розумінні, що обслуговування розпочинається і закінчується у рамках однієї системи, тобто обслуговування має одну фазу, один етап. Однак є досить розповсюдженими багатофазні системи, у яких замовлення обслуговуються комплексом послідовних чи паралельних систем. Прикладом таких систем є верстатні лінії, сукупність відділів у певному закладі, послідовний ланцюг прилавків у торговельному підприємстві.

Першим дослідником теорії масового обслуговування є датський вчений А. Ерланг, який у 1909-1922 рр. здійснив дослідження з метою вирішення проблем створення телефонних мереж. О.Я. Хінчин у 1932-33 рр. сприяв розвиткові теорії масового обслуговування, розв'язуючи задачі в галузі багатоверстатного виробництва.