39.Основні характеристики виробничих функцій. Випадок функції Кобба-Дугласа

Виробнича функція - математична модель, яка відображає залежність результатів виробничої діяльності від чинників, що зумовлюють ці результати.Виробничі функції за своїм змістом охоплюють різноманітні залежності у сфері виробництва на різних рівнях народного господарства. Залежно від задач і мети дослідження використовують різноманітні форми виробничих функцій. Якщо результативний показник узалежнюють від одного чинника, виробнича функція матиме вигляд рівності з двома змінними, тобто: де х - незалежна змінна (випадковий чинник); у - залежна змінна (результативний показник).Властивості виробничих функцій:1)якщо х=0, то у=0;2)якщо х’ > х” то f(х’) >f(х’’).

Найпоширенішими є багатофакторні виробничі функції, математичний вираз яких у загальному випадку записують:y=f( ),де х₁, х₂,..., х_п - виробничі чинники. Виробничі функції бувають статичними або динамічними залежно від того, чи враховано чинник часу.

Проілюструємо ефективність економіко-математичного аналізу виробничих функцій на прикладі відомої і досить поширеної виробничої функції Кобба-Дугласа, яка відображає на рівні народного господарства залежність величини створеного суспільного продукту від двох найважливіших чинників - сукупних затрат живої праці у матеріальному виробництві і сумарного обсягу використовуваних виробничих фондів: де у - величина суспільного продукту;х₁ - затрати праці;х₂ - об’єм виробничих фондів; , - параметри виробничої функції, числові значення яких визначають на підставі статистичної інформації за допомогою методів кореляційного аналізу. Виходячи з особливостей економічного процесу, який аналізують, щодо зазначеного типу виробничих функцій справедлива умова 0< <1, де i=1,2.

Показник продуктивності праці, за, визначають як відношення суспільного продукту до сукупних затрат праці: Вираз характеризує середню продуктивність праці (середню кількість продукції, яка припадає на одиницю відпрацьованого часу).

У нашому випадку за граничною продуктивністю праці визначають кількість додаткових одиниць продукції завдяки додатково залученій одиниці праці.

Математичний вираз граничної продуктивності праці є таким

Користуючись цією формулою легко прийти до такого виразу: = Знайдений показник називають коефіцієнтом еластичності випуску продукції за затратами праці, який вказує на збільшення випуску продукції (у відсотках) за рахунок збільшення затрат праці на 1%. Важливі і цікаві показники можна отримати щодо другого чинника у формулі - виробничих фондів. Середню фондовіддачу можна визначити з так: Аналогічно до визначають граничну фондовіддачу, а саме: = Еластичність випуску продукції за об’ємом виробничих фондів матиме вигляд: = І на завершення, можна визначити для зазначеної виробничої функції коефіцієнт еластичності заміщення цих двох ресурсів:

Для виробничої функції (5.16) о=1, а, отже, зі зміною фондоозброєності праці на 1% гранична норма заміщення зміниться на 1%.