4. Отношения между сложными высказываниями

Учитывая совпадение или расхождение истинностных значений двух сложных высказываний, мы можем установить следующие отношения между ними.

Если хотя бы при одном наборе истинностных значений простых высказываний два сложных высказывания оказываются истинными, то такие сложные высказывания называются совместимыми.

Например, высказывания а  b и а  b совместимы, т.к. в случае, когда а истинно и b истинно, их дизъюнкция и конъюнкция также будут истинными.

Более интересно отношение равнозначности, или эквивалентности: два высказывания эквивалентны, если при любых значениях входящих в них простых высказываний они принимают одни и те же истинностные значения. Построив таблицы истинности, мы легко убедимся в эквивалентности следующих высказываний:

 a  a-двойное отрицание некоторого высказывания эквивалентно самому этому высказыванию; это соотношение позволяет нам избавляться от двойных отрицаний;

(а  b)   a  b - отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний;

 (a  b)   a  b - отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний;

(а  b)  a  b - отрицание импликации эквивалентно конъюнкции первого члена и отрицания второго члена; — эти три соотношения позволяют нам избавляться от отрицания сложных высказываний и «опускать» его на простые высказывания;

а  b   a  b - выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание - это и подобные ему соотношения позволяют нам заменять одни логические связки другими.

Наконец, важнейшим отношением является отношение логического следования: из высказывания а следует высказывание b, если всегда, когда истинно а, истинно также и b.

Например, построим таблицу истинности для высказываний аb и a  b:

а	b	аb	а  b
и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	л	и
л	л	л	л

Рассматривая эту таблицу, мы замечаем, что в единственном случае, когда истинна конъюнкция а  b, и истинна и дизъюнкция а  b, поэтому мы можем сказать, что из высказывания а  b, логически следует высказывание а  b.

Важнейшее свойство логического следования состоит в том, что следствие должно быть истинно, если истинна посылка; из истины не может следовать ложь, если мы рассуждаем по правилам логики. Но как раз это свойство и передает импликация: высказывание а  b становится ложным, когда а истинно, а b ложно. Поэтому, установив, что из конъюнкции а  b логически следует дизъюнкция a  b, мы можем утверждать их импликацию: (а  b)  (a  b ). И эта импликация всегда будет истинной.

Покажем теперь, как эти отношения между высказываниями могут быть использованы для решения простых логических задач.

Пример: В деле об убийстве имеется двое подозреваемых - Пьер и Жан. Допросили четверых свидетелей. Показание первого свидетеля таково:

—Я знаю только, что Пьер не виноват.

Второй свидетель сказал:

—Я знаю лишь, что Жан не виноват.

Третий свидетель:

—Я знаю, что из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно.

Четвертый:

—Я знаю, что показания третьего свидетеля ложны. Четвертый свидетель оказался прав. Кто же совершил преступление?

Обозначим высказывание «Пьер виноват» через а; высказывание «Жан виноват» — через b. Тогда показание первого свидетеля будет выглядеть так:  а; показание второго свидетеля примет вид: b. Третий свидетель утверждает дизъюнкцию показаний первых двух свидетелей, т. е. а  b. «Четвертый свидетель утверждает, что эта дизъюнкция ложна, т. е. отрицает ее: ( а  b). Нам сказано, что последнее утверждение истинно. Теперь преобразуем его, опираясь на указанные выше эквивалентности:  ( а   b)   a &  b  а & b.

Последняя конъюнкция истинна, а это значит, что истинно суждение а и истинно суждение b, т. е. Пьер и Жан вместе совершили преступление.

Упражнение № 4.9. При истинности исходного суждения “X знает Y, но Y не знает X” определите истинностные значения следующих суждений:

Х и Y знают друг друга

Х и Y не знают друг друга

Y знает X, или Х не знает Y

Либо Y не знает X, либо Х знает Y

Х не знает Y и Y не знает X

Неверно, что Х и Y не знают друг друга

Если Х знает Y, то Y знает X

Если Х не знает Y, то Y знает X

Если Y не знает X, то Х не знает Y

Х знает Y тогда и только тогда, когда Y знает X

Упражнение № 4.10. Предположим, что мы приехали на остров, на котором живут рыцари и лжецы, и каждый житель острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет. Используя табличные определения логических союзов, решите следующие задачи.

Вы встречаете двух туземцев Х и Y.

Х говорит: “Я лжец, или Y - рыцарь”. Кто такой Х - рыцарь или лжец? Кто такой Y.

X: “Я лжец, а Y не лжец”. X? Y?

X: “Если я рыцарь, то Y - рыцарь”. X? Y?

Вы встречаете трех туземцев: X, Y, Z.

X: “Y рыцарь”

Y: “Если Х рьщарь, то Z - рыцарь”

Определить кто X, Y, и Z.

Упражнение № 4.11. На острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух, что на нем зарыты сокровища. Вы спрашиваете у X: “Есть ли на острове золото?”

X: “Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь”.

Можно ли определить, кто такой X?

Можно ли определить, есть ли на острове сокровища?