Семинары (4 семестр) / lection / lec1

Литература

Н.С. Бахвалов, Численные методы. «Наука», М.,1973, 631с.

Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков, Численные методы. «ФИЗМАТЛИТ», М.-С.П.,2000, 622с.

Интерполяционный многочлен Лагранжа (билет 1)

- интерполируемая функция.

- интерполяционная функция

- узлы интерполяции

- интерполяционный многочлен Лагранжа (полином по степени ).

Определение коэффициентов

Оценка точности интерполяционного многочлена Лагранжа (билет 2)

Вспомогательная функция

x – точка, в которой оценивается погрешность. Выбираем K из условия

обращается в 0 в n+1 точках

по теореме Ролля обращается в 0 не менее чем в n точках на отрезке[y_min,y_max],

обращается в 0 не менее чем в n-1 точке на отрезке[y_min,y_max]

обращается в 0 не менее чем в одной точке (x) на отрезке[y_min,y_max]

Для точки  справедливо . Из определения следует

или для точки : . Соотношение для такого K можно записать в виде

Это оценка остаточного члена полинома Лагранжа

Интерполирование с кратными узлами

- различные, где - кратности узлов

Многочлен определяется единственным образом т.к. в противном случае разность двух таких многочленов степени (s-1) имеет s нулей и тождественно равна 0.

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Формула прямоугольников(билет 3,5)

Оценка остатка

Формула прямоугольников с кратным узлом

Выражение аналогично формуле прямоугольников, но оценка остатка другая.

Причина – симметричное расположение узла на отрезке интегрирования.

Формула трапеций (билет 3,5)

Оценка остаточного члена

Формула Симпсона (билет 4, 6)

Аналогичное выражение получается для с кратным средним узлом, но из-за симметрии средней точки точность выше, чем дает оценка для .

Интегрирование при разбиении отрезка на равные части

Формула прямоугольников (билет 5)

Формула трапеций (билет 5)

Формула Симпсона (билет 6)

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разложение решения в ряд Тейлора (билет 7)

При конечном радиусе сходимости возможно разбиение на отрезки.

.

и два численных решения для = 10 и 20.

Метод Эйлера (билет 8)

ошибка на одном шаге

Итерационный метод Эйлера-Коши (билет 8)

ошибка на одном шаге