Семинары (4 семестр) / lection / LEC2

Методы Рунге-Кутта

Схема, аналогичная первому итерационному шагу итерационного метода Эйлера-Коши (схема 1) (билет 9)

Метод Эйлера с полушагом (схема 2) (билет 10)

Общий вид семейства методов Рунге-Кутта: (билет 9, 10)

Последовательно определяются величины k_i(h)

Параметры выбираются из условия максимальной точности схемы при заданном параметре q.

(билет10) Метод Эйлера с полушагом

.

h=0.5, и h=0.25.

Накопление ошибки при решении задачи Коши разностными методами (билет 11)

Метод Эйлера

Точное решение разностного уравнения

Метод Милна

Точное решение разностного уравнения

из условия совпадения в точках определяем С_1,2

Уравнение теплопроводности

Интегральное представление (решение с помощью функции Грина)

(билет 12)

Явная схема (шаблон и условие устойчивости) (билет 13)

действительное число.

Спектр исходного точного уравнения - затухающие гармоники

Спектр разностного уравнения:

Неявная схема (шаблон и условие устойчивости) (билет 14)

Уравнение струны (гиперболическое уравнение)

Общее решение (билет 15)

Явная схема «Крест» (шаблон и условие устойчивости) (билет 15)

«+» - гиперболическое уравнение, «-» - эллиптическое уравнение,

Уравнения Пуассона и Лапласа (эллиптическое уравнение) (билет 16)

Многомерное уравнение теплопроводности. Продольно-поперечная прогонка (билет 16)

Стохастические методы (Методы Монте-Карло)

Имитация. Уравнения химической кинетики.

Модель случайных блужданий. Диффузия с дрейфом. (билет 17)

Время подготовки второго вопроса каждого билета – 20 минут.

Билет 1 1. Написать общее выражение для интерполяционного многочлена Лагранжа.

2. Написать программу, интерполирующую заданную функцию многочленом Лагранжа при заданных (не совпадающих между собой) узлах интерполяции.

Билет 2 1. Вывести выражение для оценки точности интерполяционного многочлена Лагранжа.

2. Используя полученное выражение написать программу, дающую верхнюю оценку точности интерполяционного многочлена Лагранжа в точке x (x вводится с клавиатуры) при заданных (не совпадающих между собой) узлах интерполяции для заданной n- раз аналитически дифференцируемой функции. Число узлов n=4.

Билет 3 1. Вывести формулу трапеций и выражение для оценки ее точности.

2. Написать программу, реализующую для одного шага интегрирования формулы прямоугольников и трапеций.

Билет 4 1. Вывести формулу Симпсона.

2. Написать программу, реализующую для одного шага интегрирования формулу Симпсона.

Билет 5 1. Вывести формулы прямоугольников и трапеций без оценки точности.

2. Написать программу, реализующую для n узлов интерполяции при постоянном шаге интегрирования формулы прямоугольников и трапеций.

Билет 6 1. Вывести формулу Симпсона.

2. Написать программу, реализующую для n узлов интерполяции при постоянном шаге интегрирования формулу Симпсона.

Билет 7 1. Вывести рекуррентную формулу для определения производной n – порядка для решения следующей задачи: определить y(x) если

методом разложения решения в ряд Тейлора

. 2. Написать программу, реализующую данный алгоритм.

Билет 8 Написать программу для решения уравнения , реализующую (для одного шага h по переменной x) метод Эйлера и итерационный метод Эйлера-Коши

.Билет 9 1. Дать общий вид семейства методов Рунге-Кутта

2. Написать программу для решения уравнения , реализующую (для произвольногочисла шагов h по переменной x) схему 1, аналогичную первому итерационному шагу итерационного метода Эйлера-Коши.

Билет 10 1. Дать общий вид семейства методов Рунге-Кутта

2. Написать программу для решения уравнения , реализующую (для произвольногочисла шагов h по переменной x) метод Эйлера с полушагом.

Билет 11 1. Получить точное решение разностного уравнения (методы Эйлера и Милна) задачи Коши

2. Написать программу для решения задачи Коши , реализующую (для произвольного числа шагов h по переменной x) методы Эйлера и Милна .

Билет 12 1. Написать решение уравнения теплопроводности в интегральном виде через функцию Грина.

2. Написать программу для решения уравнения теплопроводности через функцию Грина.

Билет 13 1. Вывести условие устойчивости явной разностной схемы решения уравнения теплопроводности.

2. Написать программу для решения уравнения теплопроводности явной разностной схемой.

Билет 14 1. Вывести условие устойчивости неявной разностной схемы решения уравнения теплопроводности.

2. Написать программу для решения уравнения теплопроводности явной разностной схемой.

Билет 15 1. Вывести условие устойчивости неявной разностной схемы решения уравнения струны.

2. Написать программу для решения уравнения теплопроводности явной разностной схемой.

Билет 16 1. Метод продольно-поперечной прогонки (существо метода и круг решаемых задач).

2. Написать программу для решения уравнения теплопроводности явной разностной схемой.

Билет 17 1. Вывести диффузионное уравнение из модели частицы, случайно блуждающей по узлам одномерной решетки.

2. . Написать программу для определения функции Грина уравнения теплопроводности методом случайных блужданий.

Билет 18 1. Дать описание вычисления определенных интегралов методом Монте-Карло с переменной плотностью распределения счетных точек по области интегрирования.

2. Написать программу вычисления определенных интегралов методом Монте-Карло с постоянной плотностью распределения счетных точек по одномернй области интегрирования –отрезку [a,b].