Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных

УРАВНЕНИЙ

6.1. Постановка задачи.

Почти во всех случаях математического описания технической или научной задачи исследователь приходит к одному или системе дифференциальных уравнений. Любой физический процесс, в котором рассматривается скорость изменения одного параметра (переменной) по отношению к другому, описывается дифференциальным уравнением. Вспомним основные определения.

1. Дифференциальным называется уравнение, в которое входят производные неизвестной функции, например:

2. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция y=f(x) представляет собой функцию одной переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным урав­нением.

3. В общем случае решение дифференциального уравнения n-го порядка

заключается в отыскании функции y=f(x), при подстановке которой в уравнение (6.1) последнее обращается в тождество. Порядок старшей производной, входящей в уравнение (6.1), называется порядком дифференциального уравнения.

4. Каждое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, поэтому для нахождения частного решения необходимо указать начальные условия, а именно, задать значения при x=x₀:

(6.2)

Задача отыскания решения уравнения (6.1) при заданных значениях начальных условий (6.2) называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

5. Уравнение (6.1) сводится к системе n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка заменой на неизвестную функцию p. Например, уравнение второго порядка можно записать в виде системы двух уравнений:

Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка при начальных условиях y(x₀)=y₀. Как известно, решение такого уравнения приводит к нахождению функции

y=CF(x), (6.3)

где С- некоторая произвольная константа.

Таких функций имеется бесчисленное множество, поэтому получение решения в виде (6.3) называется нахождением общего решения дифференциального уравнения. Начальное условие позволяет выбрать одну из этих функций. Теперь для получения численного решения необходимо просто протабулировать соответствующую функцию y=CF(x). Но поскольку общее решение многих дифференциальных уравнений невозможно получить в аналитическом виде, возникает необходимость применять те или иные численные методы, дающие приближенное решение задачи.

Итак, задача численного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка ставится следующим образом: требуется построить таблицу значений функции y=F(x), удовлетворяющей уравнению и начальному условию y(x₀)=y₀ на отрезке [a, b] с некоторым шагом h.

В основном применяются два класса методов численного решения дифференциальных уравнений:

1. Одноступенчатые методы, в которых для нахождения очередной точки кривой y=F(x) используется только информация о самой кривой в одной точке и не производятся итерации.

2. Многоступенчатые методы, в которых для нахождения очередной точки кривой требуется информация о ранее вычисленных точках; эти методы для достижения требуемой точности требуют итераций.

Каждый из численных методов имеет свои достоинства и недостатки, поэтому целесообразно разумно их сочетать.

Рассматриваемые ниже методы обладают следующими свойствами:

1. Эти методы одноступенчаты, т.е. для нахождения y_i+1 нужна только точка (x_i , y_i ).

2. Они согласуются с разложением в ряд Тейлора вплоть до члена с h^k, где степень k определяет порядок метода, т.е. его точность.

3. При использовании этих методов не требуется вычислять производные от f(x,y).