Глава 5. Численное интегрирование функций

5.1. Исходные положения

При решении многих научных и инженерных задач часто возникает необходимость вычисления определенного интеграла

(5.1)

где a и b - нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) - непрерывная функция на отрезке [a, b].

Вспомним некоторые определения:

1. Функция F(x) на отрезке [a, b] называется первообразной функцией для функции f(x), если она дифференцируема и ее производная равна f(x).

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

. (5.2)

Однако во многих случаях первообразная функция F(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является очень сложной, вследствие чего вычисление определенного интеграла по формуле (5.2) практически невыполнимо. Поэтому в этих случаях важное значение приобретают приближенные методы интегрирования функций.

Сущность большинства численных методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей функцией ( x), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е.

где S - приближенное значение интеграла; R - погрешность вычисления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Наиболее распространенными в инженерных расчетах являются методы Ньютона-Котеса, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, где необходимо вычислить функцию f(x). Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение S интеграла (5.1) и оценить погрешность R. Погрешность будет уменьшаться при увеличении количества разбиений n интервала интегрирования [a, b] за счет более точной аппроксимации f(x), однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значения n становится преобладающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа разбиений отрезка интегрирования.

5.2. Метод прямоугольников

Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, принимая во внимание определение интеграла как предела сумм. Если взять какое-нибудь достаточно мелкое разбиение отрезка [a, b] и построить для него интегральную сумму, то ее значение можно приближенно принять за значение соответствующего интеграла.

Пусть задан интеграл (5.1), подынтегральная функция которого на отрезке [a, b] имеет следующий вид:

Очевидно, что интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y=f(x), осью абсцисс и двумя прямыми x=a и x=b.

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей длиной Каждую часть поделим еще раз пополам и в точках разбиения ₁=a+0,5h,

y f(x)

y₂

y₁

₁ ₂ _n

x

a x₁ x₂ x₃ ...... b

Рис. 5.1

₂=x₁+0,5h , ..., _n=x_n-1+0,5h проведем ординаты y₁, y₂, ..., y_n до пересечения с кривой y=f(x). Через концы ординат построим прямоугольники. Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной сумме площадей полученных прямоугольников и вычислить по формуле:

S=h(y₁+y₂+...y_n).

Таким образом, приближенное значение определенного интеграла по методу прямоугольников определяется следующим образом: