98. Формулы для расчёта мат.Ожидания. Одномерной дсв и нсв

М_ζ= dF_ζ(x)= p_ζ(x)dx

99. Характеризуем м.о. СВ среднее значения СВ или среднее звешаное по вероятности

100.Свойства м.О.

1⁰. М_ζ=c=const

2⁰.M(c)=c, c=const

3⁰.M(cζ)=c^/ М_ζ

4⁰. Если a b, то a М_ζ b

5⁰. М_ζ M(ζ)

6⁰. 0, М_ζ=0, ζ=0 с вероятностью 1

7⁰. g(x) борелевская функция, то h=g(ζ) есть СВ и М g(ζ)= 8⁰. P(A)=M(I(A)), где I(A)=

9⁰. М(ζ₁+ζ₂)= Мζ₁+ Мζ₂

10⁰. М(ζ₁ ζ₂)= М_ζ1 М_ζ2, если ζ и η независимы

101. M(cζ)=cM_ζ

102.M(ζ+c)= M_ζ+c

103. М(ζ₁+ζ₂)= Мζ₁+ Мζ₂

104. М(ζ₁ ζ₂)= М_ζ1 М_ζ2, если ζ и η независимы

105. М g(ζ)= (м.о. η, ζ – ДСВ или НСВ)

106. Формулы расчёта м.о. в двумерном случае

M_ζ1= ₁p_ζ1ζ2(x_1,x₂)dx₁dx₂

M_ζ2= ₂p_ζ1ζ2(x_1,x₂)dx₁dx₂

107. Неравенство Маркова для м.о

Пусть ζ-неотрицательное СВ P(ζ ) M_ζ/ или P(ζ< ) 1- M_ζ/

108. Неравенство Чебышева для м.о

P(|ζ- M_ζ| ) D_ζ/ , где D_ζ=М(ζ- M_ζ)²

109. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для м.о

Пусть ζ и η таковы, что М < , М < , тогда М_|ζη|< , (М_|ζη|)² М М ,

М >0, М >0

110. ОПр.Дисперсией СВ ζ наз число D_ζ=М(ζ- M_ζ)²

111. Характеризуем дисперсию СВ момент инерции распределения единичной массы на прямую

112. Упрощенная формула для дисперсии D_ζ=М - M_ζ²

113. Формулы дисперсии ДСВ и НСВ

ДСВ: Д_ζ= _i²p_i- ( _ip_i)²

НСВ: Д_ζ= ²p_ζ(x)dx- ( p_ζ(x)dx)²

114. Дисперсия суммы Д(ζ+η)=Д_ζ+Д_η , если СВ ζ и η – независимы

115. D(cζ)=c²D_ζ

116. D(ζ+c)=D_ζ

117. Ковариация СВ ζ₁ ,ζ₂ наз величина cov(ζ₁ ,ζ₂)=M[(ζ₁-M_ζ1)(ζ₂-M_ζ2)]

Свойства

1⁰. cov(ζ₁ ,ζ₁)=D_ζ1 2⁰. cov(cζ₁ ,ζ₂)=c cov(ζ₁ ,ζ₂)

3⁰. cov(ζ₁ ,ζ₂)= cov(ζ₂ ,ζ₁ ) 4⁰. cov(ζ₁ ,ζ₂)=0, если ζ₁ ,ζ₂ –независимы

5⁰. | cov(ζ₁ ,ζ₂)| _{ζ1 ζ2}

118. Ковариация характеризует зависимость двух СВ cov(ζ₁ ,ζ₂)=0, то СВ ζ₁ ,ζ₂ могут быть независимы и зависимы cov(ζ₁ ,ζ₂) 0, то СВ зависимы

119. Коэффициентом корреляции двух СВ ζ₁ ,ζ₂ наз величина

r(ζ₁ ,ζ₂)= cov(ζ₁ ,ζ₂)/ _{ζ1 ζ2} , _{ζ1 ζ2}

Свойства

1⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)=1 2⁰. r(сζ₁ ,ζ₂)= r(ζ₁ ,ζ₂)

3⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)= r(ζ₂ ,ζ₁) 4⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)=0, если ζ₁ ,ζ₂ –независимы

5⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)= 1 ζ₂=а+b ζ₁ 6⁰. | r(ζ₁ ,ζ₂)| 1

120. Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости

121. Какие значение принимает r | r(ζ₁ ,ζ₂)| 1

122. |r|=1, то между ζ₁ и ζ₂ строгая линейная функциональная зависимость

123. r(ζ₁ ,ζ₂)>0 , т.е зависимость между ζ₁ и ζ₂ прямая при увеличению значение ζ₁ значения ζ₂ также увеличваются

r(ζ₁ ,ζ₂)<0, т.е зависимость между ζ₁ и ζ₂ обратная

124. |r| близкое к 1 , т.е по значению r можно судить 0 степени линейной зависимости

125. |r| близкое к 0 , т.е 0 слабой линейной зависимости либо её отсутствие

126. Начальный момент СВ ζ порядка к наз величина _к=М_ζк, ₁=М_ζ

127.Центральный момент СВ ζ порядка к наз величина _к=М(ζ-М_ζ)^к

128.Ковариационной матрицей наз матрица состоящих из элементов k_ij=cov(ζ_i, ζ_j), I,j=1,n . K=

Свойство

1⁰.К-симетрично относительно главной диагонали

2⁰.По главной диагонали стоят дисперсии, k_ii=D_{ζi ,} i=1,n

3⁰.если СВ ζ₁,.., ζ_i независимы, то все элементы матрицы к кроме главной диагонали =0 К=

129.Корреляционной матрицей наз матрица состоящих из коэф.кореляци

r_ij=r(ζ_i, ζ_j), I,j=1,n

Свойство

1⁰.все элементы главной матрицы =1, r_ii=1, i=1,n

2⁰.матрица симметрична относительно главной диагонали r_ij= r_ji, , I,j=1,n

3⁰.если СВ ζ₁,.., ζ_i независимы,то все элементы матрицы =0, кроме элементов главной диагонали которые =1.

130. Модой М₀(ζ) СВ ζ наз наиболее вероятное значение СВ ζ

131. Медианой М_е(ζ) СВ ζ наз такое ее значение,для которого

Р(ζ< М_е(ζ))=P(ζ >М_е(ζ))=1/2

132. Аксимметрия наз величина А_s= ₃/ ζ³

134. Целочисленная СВ наз ДСВ ζ принимающая только целое не отрицательное значение.

135. Производящей функцией целочисленной СВ наз функция

_ζ(s)=M_sζ= ⁿp_n , M_|s|ζ<

136. Сво-во производящей функции:

1⁰.при |s| 1, | _ζ(s)| 1, причём _ζ(1)=1

2⁰.Производящая функция является законом распределения

3⁰.если ζ₁,.., ζ_i независимые целочисленные СВ, то хар-кая функция их суммы равна произведению хар-ких функций. _{ζ1.. ζn} (s)= _ζ1(s)… _ζn(s)

4⁰.M_ζ= ‘_ζ(1) D_ζ= ⁴_ζ(1)+ ’_ζ(1)- ‘_ζ(1))² ,если они существует