Задачи Задача 1.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.1).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой общего положения l(l ^/, l ^// ), проходящей через точки-следы (2^/, 2^//) и (1^/, 1^//), находящиеся на пересечении горизонтальных и фронтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную (l ^/ ) - через проекции точек 2^/ и 1^/ и фронтальную (l ^// ) - через проекции точек 2^// и 1^//, которые совпадают с фронтальным следом (f_0) плоскости . Прямая проходит через второй, первый и четвертый октанты.

Задача 2.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.2).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой общего положения l(l ^/, l ^// ), проходящей через точки-следы (2^/, 2^//) и (1^/, 1^//), находящиеся на пересечении горизонтальных и фронтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную (l ^/ ) - через проекции точек 2^// и 1^//, которая совпадает с горизонтальным следом (h_0) плоскости , и фронтальную (l ^// ) - через проекции точек 2^/ и 1^//. Прямая проходит через первый, четвертый и третий октанты.

Задача 3.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.3).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l(l ^/, l ^// ), - горизонтали, проходящей через точку-след (1^//, 1^//), находящуюся на пересечении фронтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: фронтальную (l ^// ) через точку 1^// - параллельно горизонтальной плоскости проекций, которая совпадает с фронтальным следом (f_o) плоскости ), и горизонтальную (l ^/ ) через точку 1^/ - параллельно горизонтальному следу (h_o) плоскости . Прямая проходит через первый и второй октанты.

Вывод. Плоскость общего положения пересекается с плоскостью, параллельной плоскости ₁, по горизонтали.

Задача 4.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.4).

Решение. См. решение предыдущего примера.

Вывод. Две плоскости общего положения, фронтальные следы которых пересекаются, а горизонтальные следы между собой параллельны, пересекаются по горизонтали.

Задача 5.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.5).

Решение. Плоскости a и b пересекаются по прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций.

Фронтальная проекция искомой прямой (l ^// ) совпадает с точкой 1^//, горизонтальная ее проекция (l ^/ ) проходит через точку 1^/ и перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Прямая проходит через первый и второй октанты.

Вывод. Две фронтально-проецирующие плоскости пересекаются по проецирующей прямой, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций.

Задача 6.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.6).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l(l ^/, l ^// ) - фронтали, проходящей через точку-след (1^/, 1^//), находящуюся на пересечении горизонтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную (l ^/ ) - через точку 1^/, параллельно фронтальной плоскости проекций, которая совпадает с горизонтальным следом (h_o) плоскости , и фронтальную (l ^// ) - через точку 1^//, параллельно фронтальному следу (f_o) плоскости . Прямая проходит через первый и четвертый октанты.

Вывод. Плоскость общего положения пересекается с плоскостью, параллельной плоскости ₂, по фронтали.

Задача 7.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.7).

Решение. См. решение предыдущего примера.

Вывод. Две плоскости общего положения, горизонтальные следы которых пересекаются, а фронтальные следы между собой параллельны, пересекаются по фронтали.

Задача 8.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.8).

Решение. Горизонтально-проецирующие плоскости  и  пересекаются по прямой l(l ^/, l ^// ) - фронтали, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция искомой прямой (l ^/ ) совпадает с точкой 1^/, а фронтальная ее проекция (l ^// ) проходит через точку 1^// перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций. Прямая проходит через первый и четвертый октанты.

Вывод. Две горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций.

Задача 9.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.9).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l(l ^/, l ^//, l ^/// ) , перпендикулярной профильной плоскости проекций.

Профильная проекция (l ^/// ) искомой прямой совпадает с профильным следом этой прямой, который, как известно, находится на пересечении профильных следов (Р_o и Р_o) плоскостей. Находим профильные следы заданных плоскостей. Их пересечением является профильная проекция (l ^/// ) искомой прямой. Затем по профильной проекции прямой находим ее горизонтальную (l ^/ ) и фронтальную (l ^// ) проекции, которые должны быть параллельны оси проекций.

Второй способ: Так как искомая прямая l ^/ лежит в плоскости , то ее фронтальная проекция (l ^// ) совпадает с фронтальным следом (f_o) этой плоскости. Имея фронтальную проекцию (l ^// ) прямой, можем найти ее горизонтальную проекцию (l ^/ ), не пользуясь профильной плоскостью проекций. Для этого задаем произвольную точку 3^// на прямой l ^// и находим горизонтальную проекцию (3^/) точки, зная, что точка (3^/, 3^//) лежит и на плоскости . Найдя точку 3^/, проводим через нее горизонтальную проекцию (l ^/ ) искомой прямой - параллельно оси проекций.

Задача 10.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.10).

Решение.

Плоскость  задана следами и точкой А. Находим профильные следы заданных плоскостей. На пересечении профильных следов (Р_o и Р_o) находится профильная проекция искомой прямой (l ^/// ). Затем по профильной проекции прямой находим ее горизонтальную (l ^/ ) и фронтальную (l ^// ) проекции, которые должны быть параллельны оси проекций.

Задача 11.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.11).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l ^/, параллельной оси проекций. Находим ее профильную проекцию (l ^/// ) на пересечении профильных следов плоскостей, а затем по профильной проекции прямой определяем ее горизонтальную (l ^/ ) и фронтальную (l ^// ) проекции, которые параллельны оси проекций.

Задача 12.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.14 ).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой общего положения, проходящей через точку-след (1^/, 1^//) пересечения горизонтальных следов плоскостей. Точка-след (2^/, 2^//) пересечения фронтальных следов плоскостей недоступна, так как эти следы плоскостей, по заданию, в пределах чертежа не пересекаются. Вместо точки (2^//, 2^//,) необходимо найти другую - произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей. Для этого поступаем следующим образом. Вводим вспомогательную плоскость , например, параллельную плоскости ₁, которая, как известно, пересекает каждую из данных плоскостей по горизонтали. На их пересечении получаем вспомогательную точку (4^/, 4^//), общую для данных плоскостей. Найдя эту вторую точку (4^/, 4^//) прямой, проводим ее проекции: горизонтальную - через точки 1^/ и 4^/ фронтальную - через точки 1^// и 4^//.

Примечание. В случае необходимости можно, пользуясь указанным выше способом, найти и две произвольные точки прямой пересечения, вводя последовательно две плоскости; проще всего ввести их параллельно плоскости ₁ или параллельно плоскости ₂.

Задача 14.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис15).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой, пересекающей ось проекций в точках (1^/, 1^//) и (2^/, 2^//), совпадающих с точкой (X_, X_) и находящихся на пересечении горизонтальных и фронтальных следов плоскостей. Известно, что точки-следы (1^/, 1^//) и (2^/, 2^//), как совпавшие, не определяют прямую и что необходимо найти еще одну точку этой прямой, общую для заданных плоскостей. Точка (3^/, 3^//) по заданию лежит на плоскости . Проверяем прежде всего, не лежит ли точка (3^/, 3^//) и на плоскости . Проверку выполняем хотя бы при помощи горизонтали. Точка (3^/, 3^//) действительно лежит и на плоскости , т. е. является общей точкой для данных плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: фронтальную - через точки X_ и 3^// и горизонтальную - через точки X_ и 3^/. Прямая проходит через первый и третий октанты.

Задача 15.

Найти прямую пересечения плоскостей  и  (рис.16).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой, проходящей через точку (1^/, 1^//), с которой совпадают точки схода следов X_ и X_ пересечений одноименных следов плоскостей. Точка (2^/, 2^//) лежит, по условию, на плоскости ; на плоскости . эта точка не лежит, в чем можно убедиться, например, при помощи фронта ли. Следовательно, для определения прямой необходимо найти еще одну ее точку. Вводим вспомогательную плоскость , параллельную фронтальной плоскости проекций и проходящую через точку (2^/, 2^//); горизонтальный ее след (h_o) проходит через точку a — параллельно оси проекций. Плоскость  пересекает плоскость  по прямой (1^/, 1^//), параллельной оси проекций, проходящей через точку (2^/, 2^//), а плоскость  — по фронтали, проходящей через точку (3^/, 3^//). На пересечении прямой l^/ и фронтали получаем точку (3^/, 3^//), через которую также должна пройти прямая пересечения. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную — через точки 1^/ и 4^/ и фронтальную - через точки 1^// и 4^//.

Пример 16

Найти линию пересечения плоскостей  и  не пользуясь профильной плоскостью проекций (Рис.17).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l^/, параллельной оси проекций (почему?).

Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость  проходящую через точку (3^/, 3^//). Вспомогательная плоскость  пересекает плоскость  по прямой (3^/, 4^/; 3^// , 4^//), а плоскость  — по фронтально-проецирующей прямой, проходящей через точку (1^/, 1^//). На их пересечении получаем точку (2^/, 2^//). Проводим проекции (l^/, l^//) искомой прямой, параллельно оси проекций, фронтальная проекция (l^//) искомой прямой совпадает с фронтальным следом (.)плоскости  (почему?).

Пример 17

Найти линию пересечения плоскостей  и , не пользуясь профильной плоскостью проекций (Рис.18)

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l^/, параллельной оси проекций (почему?).

Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим произвольную горизонтально-проецирующую плоскость . Плоскость  пересекает плоскость  по прямой (1^/, 2^/, 1^//, 2^//), а плоскость  - по горизонтально-проецирующей прямой, проходящей через точку (3^/, 3^//). На их пересечении получаем точку (4^/, 4^//). Проводим проекции (l^/, l^//) искомой прямой — параллельно оси проекций — через одноименные проекции найденной точки (4^/, 4^//).

Пример 18.

Найти линию пересечения плоскостей  и . не пользуясь профильной плоскостью проекций

(Рис.19).

Решение. Плоскости  и  пересекаются по прямой l^/, параллельной оси проекций (почему?). Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну точку, для чего вводим вспомогательную фронтально проецирующую плоскость , которая пересекает плоскость  по прямой(1^/, 2^/, 1^//, 2^//), а плоскость  – по прямой (3^/, 5^/, 3^//, 5^//). На их пересечении получаем точку (4^/, 4^//) Проводим проекции (l^/, l^//), искомой прямой – параллельно оси проекций – через одноименные проекции найденной точки (4^/, 4^//)

II. Найти горизонтальные следы двух пересекающихся плоскостей Р и b, если известны их вертикальные следы и точка К, принадлежащая линии их пересечения (Рис. 48, 49).