Задача 8.
Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью (рис. 8).
Решение. Обозначаем искомую точку через К( К /, К //). Так как эта точка лежит на фронтально-проецирующей прямой, ее фронтальная проекция (К //) совпадает с фронтальной проекцией (A// B//) прямой. Зная фронтальную проекцию (К //) точки, находим ее горизонтальную проекцию ( К / ) из условия, что точка ( К /, К //) лежит на заданной плоскости. Для этого пользуемся горизонталью плоскости. Дальнейшее построение видно из чертежа.
Задача 9.
Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью (рис. 9). Плоскость задана следами и точкой С (С /, С // ).
Решение. Обозначаем искомую точку через К( К /, К //). Так как эта точка лежит на горизонтально-проецирующей прямой, то ее горизонтальная проекция ( К / ) совпадает с горизонтальной проекцией (А/ В/) прямой. Зная горизонтальную проекцию ( К / ) точки, находим ее фронтальную проекцию (К //), пользуясь условием, что эта точка лежит и на заданной плоскости. Для этого используем вспомогательную прямую NС (N / С /, N // С // ). Дальнейшее построение видно из чертежа.
Задача 10.
Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью (рис. 10).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Так как эта точка лежит на фронтально-проецирующей прямой, то ее фронтальная проекция (К //) совпадает с фронтальной проекцией (A// B//) прямой. Зная фронтальную, проекцию ( К //) точки, находим ее горизонтальную проекцию (К / ), пользуясь условием, что эта точка лежит и на заданной плоскости. Для этого используем вспомогательную прямую (1/ 2/, 1// 2//). Хотя плоскость α - профильно-проецирующая, задача решена без профильной плоскости проекций. В данном случае использовано не свойство точек плоскости, а свойство точек проецирующей прямой.
Задача 11.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью (рис. 11).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Заключаем прямую l(l /, l // ) в горизонтально-проецирующую плоскость β (можно и в фронтально-проецирующую), которая пересекает заданную плоскость по прямой (1/ 2/, 1// 2//). На пересечении фронтальных проекций (1// 2// и l // ) прямых получаем фронтальную проекцию (К //) искомой точки. Затем по фронтальной проекции (К //) точки находим ее горизонтальную проекцию (К /) на горизонтальной проекции (l /) прямой.
Задача 12.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью (рис. 12).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Заключаем прямую l в плоскость β, параллельную горизонтальной плоскости проекций, которая пересекает заданную плоскость α по горизонтали. На пересечении горизонтальных проекций горизонтали и заданной прямой получаем горизонтальную проекцию (К /) искомой точки. По горизонтальной проекции (К /) точки находим ее фронтальную проекцию (К //) на проекции прямой l // . Прямую l можно заключить и в горизонтально-проецирующую плоскость, но это усложняет решение задачи.
Задача 13.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью (рис. 13).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Заключаем прямую l в плоскость β, параллельную фронтальной плоскости проекций, которая пересекает заданную плоскость β по фронтали. На пересечении фронтальных проекций фронтали и заданной прямой (l // ) получаем фронтальную проекцию (К //) искомой точки. По фронтальной проекции точки находим ее горизонтальную проекцию ( К / ) на горизонтальной проекции (l /) прямой.
Задача 14.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью (рис. 14).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Заключаем прямую l в горизонтально-проецирующую плоскость β, которая пересекает заданную плоскость α по прямой (1/ 2/, 1// 2//).
На пересечении фронтальных проекций заданной прямой ( l // ) и построенной линии пересечения плоскостей и β (1// 2//) получаем фронтальную проекцию (К //) искомой точки. По фронтальной проекции точки находим ее горизонтальную проекцию ( К / ) на горизонтальной проекции прямой.
Задача 15.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью (рис. 15).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Заключаем прямую l во фронтально-проецирующую плоскость β, которая пересекает заданную плоскость по прямой (1/ 2/, 1// 2//).
На пересечении горизонтальных проекций заданной прямой ( l / ) и построенной линии пересечения плоскостей и β (1/ 2/ ) получаем горизонтальную проекцию (К /) искомой точки. Затем по горизонтальной проекции (К /) точки находим ее фронтальную проекцию (К //) на фронтальной проекции прямой.
Задача 16.
Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью (рис. 16).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Так как заданная прямая АВ - профильная, то при решении этой задачи нельзя избежать профильной плоскости проекций, а потому решаем ее так, как было указано в задаче 5, а именно: строим профильный след (P0α) плоскости и профильную проекцию ( A/// B/// ) прямой. На их пересечении получаем профильную проекцию (К /// ) искомой точки, а затем по профильной проекции (К /// ) точки находим две ее другие проекции ( К /, К //) на одноименных проекциях (А/ В/, A// B//) прямой.
Задача 17.
Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью (рис. 17).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //, К ///). Заключаем прямую АВ в профильную плоскость β, которая пересекает заданную плоскость α по профильной прямой (1/ 2/, 1// 2//, 1/// 2/// ). Так как обе прямые: заданная АВ и построенная линия пересечения плоскостей - профильные, находим профильную проекцию (К /// ) искомой точки на пересечении профильных проекций (А///В/// и 1/// 2///) этих прямых, а затем по профильной проекции (К /// ) точки находим две ее другие проекции ( К /, К //) на одноименных проекциях прямой АВ.
Задача 18.
Найти точку пересечения прямой с с плоскостью, заданной параллельными прямыми а и b (рис. 18).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ( К /, К //). Так как заданная плоскость - горизонтально-проецирующая, находим горизонтальную проекцию ( К / ) точки на пересечении горизонтальных проекций прямой (с / ) и совпадающих проекций (а / и b /) . По горизонтальной проекции ( К / ) точки находим ее фронтальную проекцию (К //) на фронтальной проекции прямой.
Задача 19.
Найти точку пересечения прямой МN с плоскостью треугольника АВС (рис. 19).
Решение. Обозначаем искомую точку через К( К /, К //, К ///). Так как заданная плоскость - фронтально-проецирующая, находим фронтальную проекцию (К //) точки на пересечении фронтальной проекции прямой (M //N //) с фронтальной проекцией треугольника (A//B//C//). По профильной проекции (К ///) точки находим ее горизонтальную проекцию ( К /) на горизонтальной проекции прямой (M /N /).
Задача 20.
Найти точку пересечения прямой с с плоскостью, заданной точкой А и прямой b (рис. 20).
Решение. Обозначим искомую точку через К( К /, К //). Так как эта точка должна лежать на фронтально-проецирующей прямой с, то ее фронтальная проекция (К //) должна совпадать с фронтальной проекцией точки (с // ). По фронтальной проекции (К //) точки находим ее горизонтальную проекцию ( К / ) на прямой с, пользуясь условием, что точка К( К /, К //) лежит и на заданной плоскости. Дальнейшее решение видно из чертежа.
Задача 21.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью, заданной параллельными прямыми а и b (рис. 21).
Решение. Так как заданная плоскость - общего положения, то прямую l заключаем во вспомогательную горизонтальную плоскость α, и находим линию пересечения этих плоскостей (1/ 2/, 1// 2//). Горизонтальную проекцию искомой точки ( К / ) получаем на пересечении горизонтальных проекций прямых (l / ) и (1/ 2/). По вертикальной линии проекционной связи определяем фронтальную проекцию (К //).
Задача 22.
Найти точку пересечения прямой l с плоскостью треугольника AВС (рис. 22).
Решение. Прямую l заключаем во вспомогательную горизонтально- проецирующую плоскость α и находим линию пересечения плоскостей (1/ 2/, 1// 2//). Фронтальную проекцию искомой точки (К //) получаем на пересечении фронтальных проекций прямых (l// ) и (1// 2//). Затем определяем горизонтальную проекцию ( К / ).
ЗАДАЧИ
1. Найти точку пересечения прямой АВ или l с плоскостью (рис. 23-40).
2. Найти точку пересечения прямой с плоскостью, заданной не следами (рис. 41-45).
