Министерство транспорта российской федерации росморфлот

ФГОУ НОВОРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра инженерной графики

к лабораторной работе по начертательной геометрии на тему:

«ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ»

для курсантов и студентов 1 курса всех специальностей

Составитель: Татарчук Л.А.

Рецензент: Асташин К.И.

Методические указания рекомендованы к печати решением кафедры ИГ 28 февраля 2005 г., протокол № 6.

Новороссийск

2005

Построение точки пересечения прямой с плоскостью Алгоритм решения задачи

1. заданную прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость (прямую общего положения заключают в проецирующую плоскость);

2. находят прямую пересечения заданной плоскости и вспомогательной;

3. определяют общую точку заданной прямой и построенной линией пересечения плоскостей.

Указание. Если один из элементов пересечения (плоскость, или прямая) -проецирующие, то пользование изложенным алгоритмом не рекомендуется, так как в большинстве таких случаев нахождение точки пересечения значительно упрощается (см. задачи).

Задачи Задача 1.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью  (рис.1).

Решение. Обозначаем искомую точку через К(К ^/, К ^// ). Так как точка К лежит на горизонтально-проецирующей плоскости, ее горизонтальная проекция (К ^/ ) должна лежать где-то на горизонтальном следе (h₀α) плоскости. Вместе с тем, так как эта же точка К лежит и на прямой АВ, то ее горизонтальная проекция (К ^/ ) должна лежать и где-то на горизонтальной проекции (А^/ В^/) прямой. Отсюда -горизонтальная проекция (К ^/ ) искомой точки должна лежать на горизонтальном следе (h₀α) плоскости и на горизонтальной проекции (А^/ В^/) прямой, т. е. на их пересечении. Зная горизонтальную проекцию (К ^/ ) искомой точки, находим ее фронтальную проекцию (К ^// ) на фронтальной проекции (А ^// В ^// ) прямой.

Вывод. Горизонтальная проекция точки пересечения любой прямой с горизонтально-проецирующей плоскостью находится на пересечении горизонтального следа плоскости с горизонтальной проекцией прямой.

Задача 2.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью  (рис. 2).

Решение. Обозначаем искомую точку через К (К ^/, К ^// ). Плоскость α , параллельная фронтальной плоскости проекций, является плоскостью уровня. Поэтому горизонтальную проекцию (К ^/ ) искомой точки находим на пересечении горизонтального следа плоскости h₀α и проекции прямой A^/ B^/. Так как заданная прямая (А^/ В^/, A^// B^//) - профильная, то, пользуясь профильной плоскостью проекций, по проекции точки К ^/ находим К ^/// на проекции прямой A^/// B^///, затем по К^/// - проекцию К ^// на A^// B^//.

Задача 3.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью α (рис. 3).

Решение. Обозначаем искомую точку через К (К ^/, К ^// ). Так как точка К лежит на горизонтальной плоскости, то ее фронтальная проекция (К ^// ) должна лежать где-то на фронтальном следе плоскости. Вместе с тем, так как эта точка К лежит и на прямой АВ, ее фронтальная проекция (К ^// ) должна лежать также где-то на фронтальной проекции (A^// B^//) прямой. Отсюда - фронтальная проекция (К ^// ) искомой точки должна лежать на фронтальном следе (f₀α) плоскости и на фронтальной проекции (A^// B^//) прямой, т. е. на их пересечении. Зная фронтальную проекцию (К ^//) искомой точки, находим ее горизонтальную проекцию (К ^/ ) на горизонтальной проекции (А^/ В^/ ) прямой.

Задача 4.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью  (рис. 4).

Решение. Обозначаем искомую точку через К (К ^/, К ^// ). Заданная плоскость α - фронтально-проецирующая. Отсюда фронтальную проекцию (К ^// ) искомой точки находим на пересечении фронтального следа плоскости f₀α и проекции прямой A^// B^//. Так как заданная прямая - профильная, то, пользуясь профильной плоскостью проекций, по проекции точки К ^// находим К ^/// на проекции прямой A^/// B^///, а затем по К ^/// - проекцию точки К ^/ на А^/ В^/.

Задача 5.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью  (рис. 5).

Решение. Обозначаем искомую точку через К( К ^/, К ^//). Так как точка К лежит на профильно-проецирующей плоскости, то ее профильная проекция (К ^/// ) должна лежать где-то на профильном следе плоскости. Вместе с тем, так как эта же точка лежит и на прямой АВ, то ее профильная проекция (К ^/// ) должна лежать также где-то на профильной проекции ( A^/// B^/// ) прямой. Отсюда - профильная проекция (К ^/// ) искомой точки должна лежать на пересечении профильного следа (p₀α) плоскости и профильной проекции ( A^/// B^/// ) прямой. Зная профильную проекцию (К ^/// ) искомой точки, находим две другие ее проекции на одноименных проекциях прямой.

Вывод. Профильная проекция точки пересечения любой прямой с профильно-проецирующей плоскостью находится на пересечении профильного следа плоскости с профильной проекцией прямой.

Задача 6.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью  (рис. 6).

Решение. Обозначаем искомую точку через К( К ^/, К ^//). Заданная плоскость α, проходящая через ось проекций - профильно-проецирующая. Отсюда - профильную проекцию (К ^/// ) искомой точки находим на пересечении профильного следа (p₀α) плоскости и профильной проекции ( A^/// B^/// ) прямой.

Зная профильную проекцию ((К ^/// ) искомой точки, находим две другие ее проекции на одноименных проекциях прямой.

Примечание. Данную задачу можно решить и без профильной плоскости проекций, но решение изложенным способом значительно проще.

Задача 7.

Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью  (рис. 7).

Решение. Обозначаем искомую точку через К( К ^/, К ^//). Так как эта точка лежит на горизонтально-проецирующей прямой (А^/ В^/, A^// B^//), то ее горизонтальная проекция ( К ^/) должна совпадать с горизонтальной проекцией (А^/ В^/) прямой. Зная горизонтальную проекцию ( К ^/) точки, находим ее фронтальную проекцию (К ^//) из условия, что точка К( К ^/, К ^//) лежит и на заданной плоскости. Для этого пользуемся фронталью плоскости. Дальнейшее построение видно из чертежа