Линейные упругие системы и их свойства

1. Обобщенные силы и перемещения.

2. Упругие системы.

3. Линейные системы.

4. Матрицы жесткости и податливости.

5. Принцип суперпозиции.

6. Простейшая линейная упругая система. Потенциальная энергия.

7. Теоремы взаимности работ и перемещений.

8. Потенциальная энергия линейной упругой системы, загруженной произвольным числом обобщенных сил.

9. Теорема Лагранжа и теорема Кастильяно.

10. Удельная работа напряжений.

11. Потенциальная энергия упругого тела.

12. Соотношения между напряжениями и деформациями и потенциальная энергия линейного упругого тела.

Линейные упругие системы и их свойства .

1. Обобщенные силы и перемещения.

Обобщенными перемещениями называют любые величины, характеризующие изменение геометрии деформируемой механической

системы.

Обобщенной силой, соответствующей Q_i данному обобщенному перемещению q_i, называют фактор, определяющий элементарную работу dA, совершаемую над механической системой на приращении обобщенного перемещения dq_i:

dW = Q_i dq_i (1)

или

W = Q_i q_i, (1а)

если W – возможная (виртуальная) работа, совершаемая на возможном (виртуальном)перемещении q _i.

Пример. Для балки, изображенной на рис.1, в качестве обобщенных перемещений выберем вертикальные перемещения точек А и В и угол поворота сечения С:

q₁ = v_A, q₂ = v_B , q₃ = _C ,

тогда соответствующими обобщенными силами будут вертикальные силы P_А и P_В, приложенные в точках А и В, и момент пары сил М_с, приложенной в сечении С. Эти обобщенные силы могут иметь любые вещественные (в том числе и нулевые) значения.

Рис.1 Обобщенные силы, действующие на балку и соответствующие им обобщенные перемещения.

2. Упругие системы.

Деформируемая система называется упругой (идеально упругой), если действующие на нее обобщенные силы связаны с обобщенными перемещениями взаимно однозначными зависимостями.

Обобщенные перемещения упругой системы зависят только от текущих значений обобщенных сил и не зависят от последовательности приложения и закона изменения их во времени.

Обобщенные перемещения упругой системы принято отсчитывать от исходного ненагруженного состояния. После полной разгрузки обобщенные перемещения возвращаются к начальным нулевым значениям: упругие деформации при полной разгрузке системы исчезают.

3. Линейные системы.

Деформируемая система называется линейной упругой (линейно-упругой), если обобщенные перемещения и силы связаны линейными зависимостями.

Линейную зависимость между силами и перемещениями принято называть законом Гука (обобщенным законом Гука).

Линейные упругие системы следуют закону Гука.

Пусть состояние линейно упругой деформируемой системы характеризуется n обобщенными перемещениями q_i, которым соответствуют обобщенные силы Q_i , (i=1,2,...,n).

Линейная зависимость каждого обобщенного перемещения от всех обобщенных сил выражается соотношениями:

(2)

или, то же самое:

, i,j = 1,2,..,n. (2а)

Постоянные коэффициенты а_i,j называются коэффициентами податливости упругой системы.

Чем больше коэффициент податливости a_i,j, тем большее перемещение q_i, вызывается обобщенной силой Q_j.

Нагрузим упругую линейную систему силой Q_j =1, полагая, что все остальные силы равны нулю. Тогда из(2) следует:

q_i = a_ij.

Коэффициент податливости a_ij равен i-тому обобщенному перемещению q_i, вызванному единичной j-той обобщенной силой Q_j =1.

4. Матрицы жесткости и податливости.

Уравнения (2) можно переписать в матричном виде:

, (2б)

где (Q) и (q) – n-мерные векторы, представленные в форме матриц-столбцов, составленных из обобщенных сил и обобщенных перемещений:

, ,

– квадратная матрица размерами nxn, составленная из коэффициентов податливости линейной упругой системы. Ее называют матрицей податливости.

Решим систему уравнений (2) относительно (Q), обобщенные силы выразятся линейными функциями перемещений:

(3)

или в сокращенной записи:

(3-a)

Матрица [c], обратная матрице [a], называется матрицей жесткости, а ее коэффициенты a_ij, коэффициентами жесткости упругой системы.

Матрицы жесткости и податливости взаимно обратные:

[c]=[a]^-1, [a]=[c]^-1. (4)

По аналогии с коэффициентами податливости (см. п.3) можно из (3) установить, что

коэффициент жесткости a_ij равен i-той обобщенной силе Q_j, вызывающей единичное j-тое обобщенное перемещение q_{j .}

5. Принцип суперпозиции.

Пусть на линейную упругую систему действуют две системы сил (Q)_A и (Q)_B. Обобщенные перемещения, вызванные каждой из этих систем сил, в соответствии с формулой (2а) будут равны:

(q)_A=(a)*(Q)_A для системы сил (Q)_A,

(q)_B=(a)*(Q) _B для системы сил (Q)_B .

Если обе системы сил действуют одновременно, то

(q)_A+B = (a)*((Q)_A + (Q) _B) = (a)*(Q)_A + (a)*(Q) _B = (q)_A + (q)_B .

Следовательно, для линейной упругой системы справедливо следующее правило:

Результат одновременного действия двух систем сил равен сумме результатов действий каждой из этих систем.

Это положение называют принципом суперпозиции, а ревнители чистого русского языка называют его принципом независимости действия сил и законом сложения.