5. Потенциальная энергия изотропного материала.

Потенциальная энергия линейно упругого материала в соответствии с формулой (3.15) состоит из двух слагаемых:

dП = ₀d + D_  D_d . (30)

У изотропного линейно упругого материала среднее нормальное напряжение ₀ связано с относительным изменением объема  формулой (13), а девиаторы напряжений и деформаций – формулой (19).

Первое слагаемое определяет приращение потенциальной энергии изменения объема.

dП_ио = ₀d = Кd. (31)

Интегрируя это выражение и учитывая (13), получим :

П_ио = = = (32)

Второе слагаемое (30) определяет приращение потенциальной энергии изменения формы:

dП_иф = D_  D_d

Или, учитывая (19),

dП_иф = 2G D_ D_d (33)

Интегрирование приводит к следующему выражению для потенциальной энергии изменения формы:

П_иф = G(D_ D_)

Известно (проверьте), что свертка любого девиатора с самим собой равна минус второму инварианту его девиатора:

D_ D_ = 2 I2(D_)=1/2 Г² , (34)

где Г – интенсивность деформаций сдвига (21).

Следовательно потенциальная энергия изменения формы может быть представлена любым из выражений:

П_иф = ½ G Г² = ,

где Т – интенсивность касательных напряжений (20).

5. Заключение по главе. Линейно- упругая модель и реальные материалы.

Линейно упругая сплошная среда, которая является объектом исследования в линейной теории упругости, лишь приближенно отражает свойства реальных материалов. Отметим некоторые особенности упругого поведения реальных материалов.

- Материалы можно рассматривать как упругие и линейные, если напряжения не превышают некоторых значений, которые в сопротивлении материалов называют пределами упругости и пропорциональности.

- Упругие постояные меняются при изменении температуры:

модули упругости (Е, К, G) при повышении температуры, как правило, уменьшаются.

- Даже при низких напряжениях при точных измерениях фиксируются небольшие, но закономерные отклонения от закона Гука, состоящие в том, что при положительных нормальных напряжениях (при растяжении) модули упругости уменьшаются с ростом напряжений, а при отрицательных – растут.

- Материалы при изменении температуры испытывают температурную деформацию. При этом механическое деформирование порождает тепловые потоки. Термодинамический анализ этих явлений показывает, что в большинстве технических приложений влиянием этих потоков можно пренебречь, несмотря на то, что переносимая ими энергия может многократно превышать потенциальную энергию деформирования.

Идеальное линейно упругое тело – модель, широко применяемая при исследовании механических процессов в реальных материалах.

4.10. Пример.

Уравнения, полученные в этой главе в задачах теории упругости играют многоплановые роли. Обсудим их позже, а сейчас рассмотрим одну задачу, в которой их роль – главная.

Предварительно спроектируем сферический корпус глубоководного аппарата, предназначенного для погружения в океан на глубину 6000 м, на которой давление воды q = 60 МПа. Оболочку (ее диаметральное сечение показано на рис.3-а) будем считать тонкостенной, диаметр d примем равным 1 м. Толщину оболочки определим из условия прочности, считая, что она изготавливается из титанового сплава с пределом текучести _0,2 = 1000 Мпа при коэффициенте запаса прочности к = 1,2.

Рис. 3. Сферическая оболочка, под действием внешнего давления.

Для определения напряжений в оболочке рассечем ее диаметральной плоскостью и составим уравнение равновесия верхней половины (рис.3-б) в проекциях на вертикальную ось. Равнодействующая внешнего давления R_q = q  d²/4 уравновешивается равнодействующей окружных нормальных напряжений R_ = _dh, действующих в горизонтальном сечении:

_dh = q  d²/4, или _ = , (26)

причем эти напряжения сжимающие, то есть отрицательные.

Диаметральными и радиальными сечениями выделим элементарный параллелепипед (рис.4). Во всех диаметральных сечениях действуют напряжения _. В сечениях, перпендикулярных радиусу, на внутренней поверхности оболочки напряжения равны нулю, а на наружной поверхности – вешнему давлению (_r = -q). В тонкостенной оболочке они значительно меньше, чем _ и ими пренебрегают. Таким образом, изображенный на рис.4 параллелепипед выделен главными площадками, и главные напряжения составляют ₁=0, ₂ = - _  = - _. Интенсивность напряжений (см. 1.28):

_i = =

= = _

В соответствии с энергетическим критерием прочности интенсивность напряжений не должна превышать допускаемого уровня напряжений_i  _доп = _т/k. Отсюда, учитывая (27), определится минимальная толщина оболочки:

h  м = 1,8 см.

Округляя, примем h = 2 cм. Сжимающие напряжения в облочке при той толщине составят 750 Мпа.

Определим массу оболочки и ее водозмещение. Примем плотность сплава  = 4500 кг/м³. Объем материала оболочки определим как произведение площади поверхности сферы на ее толщину:

V_обол= d²*h= 3,1416*1²*0,02= 0.06283 м³,

Ее вес:

Q_обол = gV_обол = 2770 н. ,

где g – ускорение свободного падения.

Водоизмещающий объем оболочки:

V=d³/6= *1³/6=0,524 м³.

Приняв плотость морской воды _в = 1,03.10³ кг/м³, определим подъемную силу:

Q = g_в d³/6 = 9.8*1,03.10³*0,524 = 5289 н. (27)

Грузоподъемность аппарата:

5289 – 2770 = 2519 н.

Исследуем, как изменится подъемная сила и грузоподъемность при погружении на расчетную глубину. Продифференцируем выражение (27):

dQ = g d³/6 d_в + 3 g _в d²/6 d(d) = g _в d³/6( ). (28)

При погружении диаметр аппарата уменьшится вследствие упругих деформаций. Напряжения на расчетной глубине, найденые выше, _ =-750 Мпа. Напряженое состояние – плоское. Относительное удлинение составит

_ = (_ - _)/E .

Приняв для сплава Е = 1.2*10⁵ Мпа,  = 0.3, получим

_ = - 0,0043 = -0,43%. В той же мере изменится диаметр оболочки – он уменьшится на 0,43%. Следовательно, .

Воду тоже рассмотрим как линейное упругое тело, у которого, модуль сдвига G равен нулю (как у всех жидкостей), а модуль обЪемной упругости примем равным 2.10³ МПа. Относительное изменение объема у воды _в при давлении P = 60 Мпа составит

_в = p/K = -60/2000 = -0,03 = -3%.

На столько же возрастет ее плотность:

d_в/_в = 0,003/

Подставляя найденные приращения в (28), получим изменение подъемной силы:

dQ = g d³/6( d_в +3 )= 9.8 *0,524(0,003 – 3*0,0043) = = 90,4 н.

Грузоподъемность увеличится на эту величину - сжимаемость воды больше, чем сжимаемость корпуса аппарата.