4. Закон Гука для изотропного упругого тела.

В этой главе обсуждаются соотношения между напряжениями и деформациями изотропного упругого тела. Упругое тело называется изотропным, если свойства материала не зависят от направления действия напряжений.

4.1. Закон Гука при линейном напряженном состоянии.

Вспомним курс сопротивления материалов. Пусть стержень растягивается вдоль своей оси х напряжениями _x=.(рис.1).

Рис.1. Осевое растяжение.

Продольная деформация стержня (вдоль напаравления действия напряжений) характеризуется относительным удлинением _х = . Поперечные деформации вследствие изотропии одинаковы _y = _z = .

В соответствии с законом Гука продольная деформация пропорциональна напряжению:

_х = или _х = Е_х. (1)

Коэффициент пропорциональности Е называют модулем упругости или модулем Юнга.

Поперечные деформации тоже пропорциональны напряжениям, следовательно, пропорциональны продольной деформации. Отношение поперечной деформации к продольной при осевом растяжении, взятое с обратным знаком, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

 = . (2)

Из (1) и (2) следует, что поперечные деформации связаны с осевым напряжением выражениями

_y = _z = . (3)

Знак минус в формулах (2),(3) поставлен потому, что при растяжении стержня продольная деформация _х положительна (длина стержня увеличивается), а поперечные деформации _y = _z – отрицательны ( поперечные размеры сокращаются). Коэффициент Пкассона  в при такой постановке оказывается положительным.

4.2. Закон Гука для произвольного напряженного состояния в главных осях тензора напряжений.

Теперь построим соотношения для произвольного напряженного состояния, заданного главными напряжениями. Пусть главные оси 1, 2, 3 совпадают с координатными осями x, y, z. (рис.2).

Рис.2. Напряженное состояние, заданное главными напряжениями.

Произвольное напряженное состояние, характеризуемое тремя главными напряжениями (а) может быть представлено как сумма трех состояний (б)+(в)+(г), каждое из которых является одноосным растяжением в направлении соответствующей оси. Относительные удлинения вдоль осей 1, 2, 3 в каждом из частных случаев (б), (в), (г) определятся по формулам (1) и (3).

- случай (б): ₁ = , ₂ = , ₃ = ,

- случай (в): ₁ = , ₂ = , ₃ = , (4)

- случай (г): ₁ = , ₂ = , ₃ = ,

В соответствии с принципом суперпозиции при одновременном действии напряжений ₁, ₂, и ₃ каждая из компонент деформаций равна сумме ее значений при действии каждого напряжения в отдельности. Просуммировав (по столбцам) результаты (4), получим:

₁ = = ,

₂ = + = , (5)

₃ = + = .

Из симметрии напряжений и свойств материала следует, что деформации сдвига между главными осями равны нулю, следовательно для изотропного материала главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают, эти тензоры соосны.