4. Поворот системы координат.

Введем новую ортогональную систему координат x₁^I, x₂ ^I, x₃^I, повернутую относительно старой x₁, x₂, x₃. Определим положение новой системы матрицей поворота (L) , коэффициентами которой являются направляющие косинусы новых осей по отношению к старым:

(4)

где l_i,j – косинус угла, который образует новая осью x_i^I со старой x_j.

5. Преобразование компонентов векторов при повороте осей координат.

Для того, чтобы определить компоненты вектора в новой координатной системе a_i^нов достаточно на ее оси спроецировать его компоненты в старой системе, умножая их на соответствующие направляющие косинусы. Для вектора a получится:

(a) ^нов = (L)·(a). (5)

или a_j^нов = L_j,I · a_{i ,}

где (a)^нов =( a₁^н ,a₂^н ,a₃^н )^T - матрица-столбец, составленная из компонентов вектора a в новой координатной системе (суммиро-вание по повторяющимся индексам i и j),.

Аналогичным образом, проецируя компоненты вектора в новой системе на старые оси, можно построить обратное соотношение:

(a) = (L)^T·(a) ^нов, (6)

или a_j = L_i,ja_i^н

С другой стороны, его же можно получить, обратив соотношение (5):

(a) = (L^-1) ·(a) ^нов. (6a)

Таким образом, обратная матрица поворота равна транспонированной:

(L^-1) = (L^T). (7)

Если обратная матрица равна транспонированной, то матрица и соответствующий ей тензор называются ортогональными.

Матрица поворота (L) ортогональна.

6. Преобразование компонентов тензора при повороте осей координат.

Пусть тензор  связывает векторы a и b соотношениями (3) в старых координатах. В новой координатной системе эти векторы связаны аналогичным соотношением:

(b)^нов = ()^нов · (a)^нов , (8)

где – ()^нов матрица компонентов тензора  в новых координатах.

Для того, чтобы установить правило преобразования компонентов тензора при повороте системы координат, применим к матрице (b)^нов соотношение (5), а затем выразим (b) через (a), используя (3d):

(b)^нов = (L)·(b) = (L)·()· (a).

Последний сомножитель формулы преобразуем , выразив старые компоненты вектора (a) через новые по формуле (6-а). Получим:

(b)^нов = (L) · () · (L^T) · (a) ^нов

Сравнивая результат с (8), получим уравнение, связывающее компоненты тензора  в новой и старой системах координат:

()^нов = (L) · () · (L^T) (9).

7.Симметричные антисимметричные и ортогональные тензоры.

Тензор называется симметричным, если его матрица равна транспонированной, то есть если матрица симметрична относительно главной диагонали, т.е. если

() = () ^T, или _ij = _ji.

Тензор называется антисимметричным или кососимметричным, если

() = - () ^T, или _ij = -_ji.

Очевидно, что диагональные компоненты антисимметричного тензора равны нулю.

Ортогональные тензоры были определены раньше, они удовлетворяют соотношению (7).

Свойства симметрии, антисимметрии и ортогональности принадлежат тензору, а не только матрице его коэффициентов. При преобразовании координат, в частности при повороте осей, матрица меняется, но присущее ей свойство сохраняется.