2.10. Уравнения совместности деформаций.

Вспомним математику.

Пусть существует дифференцируемая функция (x,y,z).

Ее полный дифференциал:

dФ = Pdx + Qdy + Rdz, (40)

где через P, Q и R обозначены ее частные производные:

, . (41)

Поскольку вторые смешанные производные функции

, , и , не зависят от порядка дифференцирования, то

должны выполняться соотношения:

, , . (42)

В механике их называют условиями Эйлера. Если эти условия выполняются, то выражение (40) определяет дифференциал функции Ф. В этом случае интеграл

(43) определяет функцию Ф ,причем результат интегрирования не зависит от того, по какому пути от точки А до точки В интегрирование выполнено.

Если функции P, Q, и R не удовлетворяют условиям (42), то выражение (40) не является полным дифференциалом какой-либо функции а результат вычисления интеграла (43) зависит от пути, по которому осуществляется переход из точки А в точку В.

Подчиним условиям Эйлера функции, находящиеся по интегралами в формулах (28),(30),(32),(34),(36) и (38).

Начнем с интеграла (30), определяющего функцию . Для него в соответствии с (31)

P = , Q = , R = .

Первое из условий (42) дает

из него следует уравнение

(44-1)

Аналогично из второго и третьего условий из (29) получаются уравнения:

(44-5)

(44-4)

Из условий Эйлера для интеграла (32), получаются еще три уравнения, из которых одно повторяет уравнение (44-4), а два новые:

(44-3)

(44-6)

Проверка условий Эйлера во всех остальных интегралах приводит к еще одному новому уравнению:

(44-2)

Полностью система из 6 уравнений (44) имеет вид:

,

,

,

Если эти условия выполняются, то компоненты деформаций совместны, интегралы не зависят от пути интегрирования, уравнения Коши могут быть проинтегрированиы, перемещения определены.

Уравнения (44) называются уравнениями совместности деформаций или уравнениями Сен-Венана.