2.8. Относительное изменение объема. Девиатор деформаций.

Выделим в недеформированном теле элементарный параллелепипед со сторонами dx,dy,dz. Его объем до деформации:

Vo = dx*dy*dz.

Вспомнив смысл линейных компонентов деформаций и учитывая принятое допущение о малости поворотов векторов, объем того же параллелепипеда после деформации:

V = dx₁ *dy₁*dz₁ = (1+_x)dx(1+_y)dy(1+_z)dz =

(1+_x+_x+_z+_x_y+_y_z+_z_x+_x_y_z)dx*dy*dz

Относительным изменением объема  называют отношение его абсолютного именения V-Vо к начальному объему Vо:

 = ⁼ _x+_y+_z+_x_y+_y_z+_z_x+_x_y_z

Пренебрегая слагаемыми второго и третьего порядков малости, получим формулу, опрределяющую в линейной теории деформаций относительное изменение объема материала:

 = _x + _y + _z = (21)

Относительное изменение объема равно сумме линейных деформаций или одной трети первого инварианта тензора деформаций.

Представим тензор деформаций в виде суммы шарового тензора и девиатора:

() = I + D _() , (22)

где I – единичный тензор,

D _()- девиатор деформаций, D_ij – компоненты девиатора:

D_()= (23)

Шаровой тензор определяет изменение объема материала при равномерном всестороннем расширении, а девиатор определяет отклонение от всестороннего расширения, происходящие без изменения объема, определяющие изменение формы элементарного объема, являющиеся следствием деформаций сдвига.

Первый инвариант девиатора равен нулю, третий инвариант нам не понадобится. Второй инвариант, выраженный через компоненты тензора деформаций выглядит так:

(24)

Второй инвариант в механике деформируемого тела играет фундаментальную роль. Как видно из (24), он всегда отрицателен. Величина, пропорциональная квадратному корню из минус второго инварианта называется (в русской механике) интенсивностью тензора.

Интенсивностью деформаций сдвига называют величину

= = , (25)

а интенсивностью линейных деформаций или просто интенсивностью деформаций – величину

. (26)

2.9. Интегрирование уравнений Коши.

Уравнения Коши (8) позволяют определить компоненты деформаций, если заданы перемещения, то есть заданы функции u(x,y,z), v(x,y,z) и w(x,y,z). Эти функции должны быть дифференцируемы, никаких других ограничений на них не накладывается.

Пусть поставлена обратная задача: компоненты деформаций _x,_y,_z,_xy,_yz,_zx заданы как функции координат, а перемещения, то есть функции u,v,w, подлежат определению.

Перепишем уравнения Коши так, чтобы в правой части находились заданные величины, а в левой – подлежащие определению:

(27)

.

Для определения неизвестных функций эти уравнения предстоит проинтегрировать.

Определим функцию u(x,y,z), то есть проекцию вектора перемещений на ось х. Пусть значение функции u(x,y,z) в некоторой точке А равно u_А. Тогда в произвольной точке, принадлежащей как и точка А области определения функции (то есть принадлежащей исследуемому телу) эта функция может быть представлена в виде:

u = , (28)

где интеграл берется вдоль любой кривой АВ, принадлежащей области определения функции.

Первая из частных производных, стоящих под знаком интеграла, определяется из (27) сразу:

(29)

Две другие прямо не определяются. Через компоненты деформаций из уравнений (27) могут быть выражены только их производные. Для определения и приходится прибегать к интегрированию.

Определим входящую в (28) функцию :

= (30)

Из уравнений Коши, определяются частные производные присутствующие под знаком этого интеграла:

, , (31)

Определим :

= (32)

Из уравнений Коши, определяются частные производные присутствующие под знаком этого интеграла:

, , (33)

После вычисления интегралов (30) и (32) может быть по формуле (28) определено перемещение u(x,y,z).

Определим функцию v(x,y,z), то есть проекцию вектора перемещений на ось y.

v = , (34)

Частные производные по x и y, учитывая, что перемещение u уже определено :

; ; (35)

Производную по z придется вычислять интегрированием:

= (36)

где

; ; . (37)

Определим перемещение w(x,y,z):

w = , (38)

где

; ; ; (39)