2.4. Относительные удлинения произвольного вектора. Компоненты деформаций. Уравнения Коши.

Абсолютным удлинением материального отрезка АВ называют разность между его длинами в деформированном и исходном состояниях. Относительным удлинением  отрезка называют отношение его абсолютного удлинения к первоначальной длине.

Для отрезка АВ на рис.1: _АВ = .

Рис.2 Удлинение произвольного вектора.

Дополним рис.1 некоторым построением, показанным на рис.2. На деформированном отрезке A₁B₁ от точки A₁ отложим начальную длину dx. Для этого, учитывая ограничение О2, достаточно из точки B₃ опустить перпендикуляр B₃B₂ на новое A₁B₁ (или, учитывая малость углов поворота, на старое A₁B₃ или AB) направление отрезка.

Тогда, как видно из рисунка, отрезок dx, изображающий абсолютное удлинение вектора АВ, является проекцией вектора du на направление вектора АВ:

dx = u*Cos ,

где  – угол между векторами du и АВ.(см рис.2)

Тогда абсолютное удлинение отрезка AB может быть выражено следующим образом:

dx = du (5)

Относитительное удлинение отрезка:

_AB = dx/dx =

или в матричной форме:

_AB = (6)

Умножая слева и справа (с учетом (4)) компоненты (u) на компоненты вектора dx, получим:

_AB =

Раскрывая скобки, группируя члены и учитывая (1), получим

_AB =

=

или _AB = (7)

где обозначено:

(8)

Величины _x, _y, _z, _xy, _yz, _zx называют компонентами деформаций. Формулы (8), которые выражающие компоненты деформаций через компоненты вектора перемещений принято называть уравнениями Коши.

2.5. Геометрический смысл компонентов деформаций.

Пусть вектор АВ параллелен оси x. Его направлящие косинусы l = 1, m = n = 0. Подставляя эти значения в (7), получим: _AB = _x. Следовательно, компонент деформации _x представляет собой относительное удлинение такого вектора, который до деформации был параллелен оси x. Аналогично можно выявить смысл компонентов деформаций _y и _z и придти к выводу:

_x, _y и _z - это относительные удлинения векторов, которые до деформации были параллельны осям x, y и z соответственно.

Для того, чтобы выяснить смысл компонентов _xy, _yz и _zx, рассмотрим два взаимно перпендикулярных вектора, один из которых – вектор AB длиной dl_B параллелен оси x, а другой AC длиной dl_C параллелен оси y (рис.3).

До деформации угол между векторами AC и AB равен /2. В деформированном состоянии угол изменился (на рисунке - уменьшился) на величину, обозначенную символом . Проекции (компоненты) векторов до деформации:

вектор AB - (dl_B, 0, 0) (9а)

вектор AC - ( 0, dl_С, 0). (9б)

Рис.3. Деформации сдвига.

Вектор перемещений точки обозначен u. Если бы фигура CAB поступательно переместилась как твердое целое вместе с точкой A, то она заняла бы положение C ₂A₁B₂. Перемещение точек B и C отличаются от перемещения точки A на du_B и du_C соответственно. Поэтому после деформации:

вектор A₁B₁ = A₁B₂ + du_B = AB +du_B , (10а)

вектор A₁C₁ = A ₁C₂+ du_C = AC + du_C. (10б)

В соответствии с (4) и (9), компоненты векторов приращения перемещений составят:

для вектора du_B : (11а)

для вектора du_C : (11в)

Теперь, из формул (10), учитывая (9) и (11), можно получить компоненты векторов A₁B₁ и A₁С₁ (то есть компоненты векторов AB и AС после деформации):

Для вектора A₁B₁: (12а)

Для вектора A₁С₁: (12в)

Составим скалярное произведение этих векторов. С одной стороны, учитывая малость деформаций и поворотов, это

A₁B₁  A₁С₁ =dl_1Вdl_1СCos(/2-) =dl_1Вdl_1СSin()  dl_Вdl_С  (13)

С другой стороны, учитывая компонентное представление (12) этих векторов,

A₁B₁  A₁С₁ = .

Раскрывая скобки, оставляя слагаемые основного порядка малости и подставляя в (13), получим:

A₁B₁  A₁С₁ =

Отсюда, в соответствии с (8):

 = =

Следовательно, _xy – это величина, определяющая изменение (уменьшение) первоначально прямого угла между векторами, которые до деформации были параллельны осям x и y. Аналогично устанавливается смысл компонентов деформаций _yz и _zx .