I. Аксиомы событий

1. Задаётся множество элементарных событий Ω, называемое пространством элементарных событий.

2. Рассматривается некоторая непустая совокупность S подмножеств множества Ω, называемых событиями (в общем случае бесконечного пространства Ω, мы рассматриваем не все подмножества Ω, а лишь некоторые классы этих подмножеств).

К совокупности S предъявим следующие требования

1. Если множества (в конечном или счётном числе) суть события, то их объединение тоже является событием.

2. Если множество А является событием, то его дополнение ( до Ω ) есть тоже событие.

Из аксиом 1,2 легко следует, что само Ω является (достоверным) событием и если есть события, то их пересечение (произведение) снова будет событием.

В этой терминологии два события А и В, не имеющие

( как подмножество) общих элементов, будут несовместными.

Событие, совпадающее с пустым множеством Ø, будет невозможным событием.

Таким образом, в нашей терминологии: результатом опыта является одно и только одно элементарное событие . Далее, событие А считается наступившим, если результатом опыта явилось элементарное событие ω, принадлежащее А.

II. Аксиомы вероятностей

Теперь мы сформулируем аксиомы, задающие само понятие вероятности.

1. Каждому событию поставлено в соответствии неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

2. Если события попарно несовместны, то

.

Заметим, что при бесконечном числе событий в правой части написанного равенства стоит сумма ряда.

3. .

Аксиомы 1-3 составляют основу всей теории вероятностей. Все теоремы этой теории выводятся из них формально логическим путем.

Схема, включающая в себя три объекта :

1. Множество Ω (называемое пространством элементарных событий),

2. Систему S подмножеств Ω (называемых событиями), удовлетворяющих аксиомам 1,2 пункта I,

3. Функцию Р(А), определенную на S и удовлетворяющую аксиомам 1,2,3 пункта II,

называется вероятностной схемой данного опыта (или вероятностным пространством данного опыта).

Упоминание об опыте может быть опущено, поскольку понятие вероятностной схемы является чисто математическим понятием и не требует привязывания к какому либо конкретному опыту.

С введением вероятностной схемы мы можем определить предмет теории вероятностей в более точных терминах, а именно:

теория вероятностей занимается изучением

всевозможных вероятностных схем.

Замечание 1. Поскольку аксиоматика теории вероятностей явилась следствием формализации объективных свойств массовых случайных явлений реального мира и все аксиомы теории вероятностей мы вывели исходя из частотного определения вероятностей, то мы в дальнейшем при выводе формул иногда будем обращаться к частотному понятию вероятности по отношению к данному опыту.

Как мы говорили выше, данные формулы могут быть выведенным из выше указанных аксиом.

Замечание 2. Множество Ω для данного опыта может быть дискретным, непрерывным, или иметь более сложную структуру.

К дискретным относятся конечные или счётные множества элементарных исходов, к непрерывным – множества типа конечного или бесконечного интервала на числовой прямой. Чаще всего рассматривают модели опытов, для которых множество элементарных исходов Ω либо дискретно, либо непрерывно.