Шпоры для мобильного и лекции / 1 Логика / юлино уг / shpora_chast3
.docx
Понятие. область определения и истинности предиката. Предикат - логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x1, ..., x1) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое p(x1, ..., x1). В этом случае p называется n-местным предикатом на множестве M. Из курса математической логики, нам известно, что высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 ("истина") или 0 ("ложь"). Исходя из этого, можно дать определение предиката для различной местности. Пусть задано произвольное множество М ¹ Æ. Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется функция вида. (5) Двуместным предикатом p(x1,x2) на множестве М называется функция вида (6) и т.д. Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): . Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо значение 1 ("истина") либо значение 0 ("ложь"). Действительно, при значениях x =2, 3, 5, 7, ... , функция p(x) = 1 и в случае, когда x = 4, 6, 8, 9, ... p(x) = 0.В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято "простое число", и это свойство обозначено через p. Областью определения предиката называется множество, элементы которого могут быть подставлены в предикат. Множеством истинности предиката вызывается множество, элементы которого подставленные в предикат, обращают его в истинное высказывание. Если особо не оговорено, то принято обозначать множество истинности предиката буквой Т с индексами или без таковых. Множество всех элементов х М , при которых преди¬кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос¬ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х М, Р(х) = 1}.Предикат Р(х), определенный на мно¬жестве М, называется тождественно истинным (тож¬дественно ложным), если 1р = М (1р = ).
|
Квантовые существования и всеобщности. Свободно связанные переменные. 1. Квантор всеобщности. Пусть P(x) – предикат, определенный на множестве M. Под выражением понимают высказывание, истинное, когда P(x) истинно для каждого элемента и ложное в противном случае. Это высказывание не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение «Для всякого xP(x) истинно». Символ называется квантором всеобщности. Переменную x в предикате P(x) называют свободной (ей можно придавать различные значения из M), в высказывании переменную x называют связанной квантором всеобщности. 2. Квантор существования. Пусть P(x) – предикат, определенный на множестве M. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно и ложным в противном случае. Это высказывание не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение «существует x, при котором P(x) истинно». Символ называется квантором существования. Пример. M=N, P(x) – «число x кратно 5»; – «Все натуральные числа кратны 5» ложно, т.е. ; – «Существует натуральное число, кратное 5» истинно, то есть . Замечание 1. Высказывание истинно только в том единственном случае, когда P(x) тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только в том единственном случае, когда P(x) тождественно ложный предикат. Замечание 2. Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве M задан двухместный предикатP(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ) [для любого x P(x,y) истинно (существует x, при котором P(x,y) истинно)], зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут к высказываниям следующих видов: ; ; ; ; ; ; ; . Пример. Рассмотрим предикат P(x,y) – «y является делителем x», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к этому предикату приводит к 8 возможным высказываниям: 1) – «Для всякого y и для всякого x, y является делителем x»; 2) – «Существует y, которое является делителем всякого x»; 3) – «Для всякого y существует x такое, что x делится на y»; 4) – «Существует y и существует x такие, что y является делителем x»; 5) – «Для всякого x и для всякого y, y является делителем x»; 6) – «Для всякого x существует y такое, что x делится на y»; 7) – «Существует x такое, что для всякого y, x делится на y»; 8) – «Существует x и существует y такие, что y является делителем x». Высказывания 1), 5), 7) ложны; а высказывания 2), 3), 4), 6), 8) истинны.
|
Законы и правила исчисления предикатов. Переход от квантора существования к квантору сущности.
|
Формулы исчисления предикатов. Общезначимые и выполнимые формулы.
|
Понятие алгебры. Носитель, сигнатура, фундаментальные алгебры:группоиды, полугруппы, моноиды, поля, тела, кольца решетки.
|