Шпоры для мобильного и лекции / 1 Логика / юлино уг / shpora_chast3

Понятие. область определения и истинности предиката.

Предикат - логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x₁, ..., x₁) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое p(x₁, ..., x₁). В этом случае p называется n-местным предикатом на множестве M.

    Из курса математической логики, нам известно, что высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 ("истина") или 0 ("ложь"). Исходя из этого, можно дать определение предиката для различной местности.

    Пусть задано произвольное множество М ¹ Æ.    Определение. Одноместным предикатом р(х) на множестве М называется функция вида. (5)

    Двуместным предикатом p(x₁,x₂) на множестве М называется функция вида (6) и т.д.  

Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): . Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо значение 1 ("истина") либо значение 0 ("ложь"). Действительно, при значениях x =2, 3, 5, 7, ... , функция p(x) = 1 и в случае, когда x = 4, 6, 8, 9, ... p(x) = 0.В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято "простое число", и это свойство обозначено через p.

Областью определения предиката называется множество, элементы которого могут быть подставлены в предикат.

Множеством истинности предиката вызывается множество, элементы которого подставленные в предикат, обращают его в истинное высказывание. Если особо не оговорено, то принято обозначать множество истинности предиката буквой Т с индексами или без таковых. Множество всех элементов х  М , при которых преди¬кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос¬ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х  М, Р(х) = 1}.Предикат Р(х), определенный на мно¬жестве М, называется тождественно истинным (тож¬дественно ложным), если 1р = М (1р = ).

Квантовые существования и всеобщности. Свободно связанные переменные.

1.     Квантор всеобщности.

Пусть P(x) – предикат, определенный на множестве M. Под выражением  понимают высказывание, истинное, когда P(x) истинно для каждого элемента  и ложное в противном случае. Это высказывание не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение «Для всякого xP(x) истинно». Символ  называется квантором всеобщности. Переменную x в предикате P(x) называют свободной (ей можно придавать различные значения из M), в высказывании  переменную x называют связанной квантором всеобщности.

2.     Квантор существования.

Пусть P(x) – предикат, определенный на множестве M. Под выражением  понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно и ложным в противном случае. Это высказывание не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение «существует x, при котором P(x) истинно». Символ  называется квантором существования.

Пример.

M=N, P(x) – «число x кратно 5»;

 – «Все натуральные числа кратны 5» ложно, т.е. ;

 – «Существует натуральное число, кратное 5» истинно, то есть .

Замечание 1. Высказывание  истинно только в том единственном случае, когда P(x) тождественно истинный предикат, а высказывание  ложно только в том единственном случае, когда P(x) тождественно ложный предикат.

Замечание 2. Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве M задан двухместный предикатP(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат  (или одноместный предикат ) [для любого x P(x,y) истинно (существует x, при котором P(x,y) истинно)], зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут к высказываниям следующих видов: ; ; ; ; ; ; ; .

Пример.

Рассмотрим предикат P(x,y) – «y является делителем x», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к этому предикату приводит к 8 возможным высказываниям:

1)      – «Для всякого y и для всякого x, y является делителем x»;

2)      – «Существует y, которое является делителем всякого x»;

3)      – «Для всякого y существует x такое, что x делится на y»;

4)      – «Существует y и существует x такие, что y является делителем x»;

5)      – «Для всякого x и для всякого y, y является делителем x»;

6)      – «Для всякого x существует y такое, что x делится на y»;

7)      – «Существует x такое, что для всякого y, x делится на y»;

8)      – «Существует x и существует y такие, что y является делителем x».

Высказывания 1), 5), 7) ложны; а высказывания 2), 3), 4), 6), 8) истинны.

Законы и правила исчисления предикатов. Переход от квантора существования к квантору сущности.

Формулы исчисления предикатов. Общезначимые и выполнимые формулы.

Понятие алгебры. Носитель, сигнатура, фундаментальные алгебры:группоиды, полугруппы, моноиды, поля, тела, кольца решетки.