
Шпоры для мобильного и лекции / 1 Логика / юлино уг / shpora_chast3
.docx
Понятие. область определения и истинности предиката. Предикат - логическая функция, определенная на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору (x1, ..., x1) из множества M сопоставляет некоторое высказывание, обозначаемое p(x1, ..., x1). В этом случае p называется n-местным предикатом на множестве M. Из курса математической логики, нам известно, что высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 ("истина") или 0 ("ложь"). Исходя из этого, можно дать определение предиката для различной местности. Пусть
задано произвольное множество М ¹
Æ. Определение.
Одноместным предикатом р(х) на
множестве М называется
функция вида Двуместным
предикатом p(x1,x2) на
множестве М называется
функция вида Например, пусть в качестве множества M задано множество натуральных чисел N. Обозначим через p(x): . Тогда, в зависимости от значения x, логическая функция p(x) принимает либо значение 1 ("истина") либо значение 0 ("ложь"). Действительно, при значениях x =2, 3, 5, 7, ... , функция p(x) = 1 и в случае, когда x = 4, 6, 8, 9, ... p(x) = 0.В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве свойства взято "простое число", и это свойство обозначено через p. Областью определения предиката называется множество, элементы которого могут быть подставлены в предикат. Множеством истинности предиката вызывается множество, элементы которого подставленные в предикат, обращают его в истинное высказывание. Если особо не оговорено, то принято обозначать множество истинности предиката буквой Т с индексами или без таковых. Множество всех элементов х М , при которых преди¬кат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истиннос¬ти предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х М, Р(х) = 1}.Предикат Р(х), определенный на мно¬жестве М, называется тождественно истинным (тож¬дественно ложным), если 1р = М (1р = ).
|
Квантовые существования и всеобщности. Свободно связанные переменные. 1. Квантор всеобщности. Пусть P(x)
– предикат, определенный на
множестве M. Под
выражением 2. Квантор существования. Пусть P(x)
– предикат, определенный на
множестве M. Под
выражением Пример. M=N, P(x) – «число x кратно 5»;
Замечание 1.
Высказывание Замечание 2.
Кванторные операции применяются и к
многоместным предикатам. Пусть,
например, на множестве M задан
двухместный предикатP(x,y).
Применение кванторной операции к
предикату P(x,y)
по переменной x ставит
в соответствие двухместному
предикату P(x,y)
одноместный предикат Пример. Рассмотрим предикат P(x,y) – «y является делителем x», определенный на множестве N. Применение кванторных операций к этому предикату приводит к 8 возможным высказываниям:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8) Высказывания 1), 5), 7) ложны; а высказывания 2), 3), 4), 6), 8) истинны.
|
Законы и правила исчисления предикатов. Переход от квантора существования к квантору сущности.
|
Формулы
исчисления предикатов. Общезначимые
и выполнимые формулы.
|
Понятие алгебры. Носитель, сигнатура, фундаментальные алгебры:группоиды, полугруппы, моноиды, поля, тела, кольца решетки.
|