Решение

Определим значение наборов переменных

Построим таблицу истинности для f1

x1 x2 x3	x1 x2	(x1 x2)  x3
0 0 0	0	0
0 0 1	0	0
0 1 0	1	0
0 1 1	1	1
1 0 0	1	0
1 0 1	1	1
1 1 0	0	0
1 1 1	0	0

Построим таблицу истинности для f2

x1 x2 x3	x1 x2	x3	(x1  x2) x3
0 0 0	1	1	1
0 0 1	1	0	0
0 1 0	1	1	1
0 1 1	1	0	0
1 0 0	0	1	1
1 0 1	0	0	1
1 1 0	1	1	1
1 1 1	1	0	0

Функции f1 и f2 не являются равносильными, так как их значения противоположны на наборах 0, 2, 3, 4 и 6.

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы:

• основные равносильности,

• равносильности, выражающие одни операции через другие,

• равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

Основные равносильности.

1.	x&x= x x V x=x	Законы идемпотентгости
2.	x&1=x x V 1=1 x&0=0 x V 0= x	Законы работы с 0 и 1
3.	x&=0	Закон противоречия
4.	x V = 1	Закон исключения третьего
5.	=x	Закон снятия двойного отрцания
6.	x& (x v y) =x x v (x & y) = x	Законы поглощения

Равносильности, выражающие одни операции через другие.

1.	x y= (x y)&(y x)
2.	x y = V y
3.	x  y=V
4.
5.
6.
7.

Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

1.	x & y= y & x	коммутативность конъюнкции
2.	x V y = y V x	коммутативность дизъюнкции
3.	(x &y )& z = x&(y&z)	ассоциативность конъюнкции
4.	(x Vy )V z = xV(yVz)	ассоциативность дизъюнкции
5.	x &(y V z)= x&y V x&z	дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
6.	x V(y & z)= (xVy )&( xVz)	дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

Используя равносильности всех трех групп можно часть формулы заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования называются равносильными.

Рассмотрим непустое множество М элементов любой природы {x, y, z,…} ( в том числе и высказывания!), на котором определено отношение = «равно» и три операции: +«логическое сложение», . «логическое умножение», - «отрицание», подчиняющиеся законам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, идемпотентности, двойного отрицания, де Моргана, поглощения.

Тогда мы получаем булеву алгебру А_б= <M, +, ., ->. Обратите внимание, булева алгебра - дистрибутивная решетка с дополнениями!

Если под элементами {x, y, z,…} понимать высказывания, знак равенства понимать как равносильность, а под логическим сложением, логическим умножением, отрицанием – дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание, получаем интерпретацию алгебры Буля.

Среди интерпретации алгебры Буля можно считать алгебру множеств, т.е. алгебру Кантора.

Теорема Стоуна

Булева алгебра изоморфна алгебре Кантора.

Под изоморфизмом между алгебрами A₁=<M_1, S₁> и A₂=<M_2, S₂> в данном случае понимаем такое взаимно однозначное соответствие между элементами носителя и сигнатуры, что [3]:

f_i(mⁱ₁, mⁱ₂, …, mi¹_n-1)=mⁱ_n

.

ЛИТЕРАТУРА

.

1. М. Свами, К. Тхуласироман. Графы, сети и алгоритмы. – М.: Мир, 1984.

2. Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения.- М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003.

3. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. - М.: Наука. Физматлит, 1999.-544с