Гусева А.И. Дискретная математика: Математическая логика

Лекции 14-15

Исчисление предикатов

Основные понятия

Одноместным предикатом P(x) называется всякая функция одного переменного, аргумент который х определен на некотором множестве М, а значение функции определены на множестве {0,1}[1].

Множество М, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.

Множество I_p, на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката P(x).

Предикат P(x) называется тождественно истинным (тождественно ложным) на множестве М, если I_p=М (I_p=0).

N-местным предикатом Q(x₁, x₂,…,x_n) называется всякая функция n переменных, определенная на множестве и принимающая значение на множестве {0,1}.

Предикат P(x) является следствием Q(x) () , если

Предикаты P(x) и Q(x) равносильны (), если , т.е. они являются следствием друг друга.

Логические операции над предикатами

Так как предикаты принимают значения 0 и 1, к ним можно применять все операции алгебры высказываний. Пусть на некотором множестве М заданы два предиката P(x) и Q(x).

Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который равен 1 при тех и только при тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинностью предиката является .

Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который равен 0 при тех и только при тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинностью предиката является .

Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат , который равен 0 при всех значениях , при которых P(x) равен значению «истина», и равен 1 при всех значениях , при которых P(x) равен значению «ложь».

Очевидно, что областью истинностью предиката является .

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат , который равен 0 при тех и только при тех значениях , при которых P(x) принимает значение «истина», а Q(x) - значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинностью предиката является .

Задача 1

Заданы предикаты , и на множестве натуральных чисел N: : «число Х делится на 5»

: «число Х четное».

Найти область истинности предикатов , , .

Решение

Так как I_p = {5, 10, 15, 20, …. 5n, ..} и I_Q = {2, 4, 6, 8, 10, … 2n, ..}, то

={10, 20, …,20n,..},

={2, 4, 5, 6, 8, 10, … 2n,5n, ..},

={5, 10, 15,… ,5n, ..} {1, 3, 5, … 2n-1, ..}= {1, 3, 5, 7, 9, 10, … 2n-1,5n, ..}.

Задача 2

Задан предикат :>0 на множестве рациональных чисел R. Найти область истинности предиката .

Решение

Найдем область, на которой данный предикат может быть определен. Поскольку знаменатель дроби не может быть равен 0, то . Для того, чтобы наша дробь была положительной, необходимо, чтобы знаки числителя и знаменателя совпадали:

Отсюда

Кванторные операции над предикатами

Задан предикат, определенный на множестве М. Если а - некий элемент из множества М, то его подстановка вместо х в предикат, превращает этот предикат в высказывание .

В логике предикатов существуют две кванторные операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание и связывают переменные.

Пусть задан предикат, определенный на множестве М.

Тогда под выражением понимаем высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинен для каждого элемента х из М, и ложное в противном случае. Это высказывание не зависит от х, его словесное выражение выглядит так «Для любого х истинно». Символ называется квантором всеобщности.

Переменная х в предикате свободна, в высказывании переменная х связана квантором всеобщности.

Под выражением понимаем высказывание, истинное тогда и только тогда, когда существует элемент х из М, для которого истинен, и ложное в противном случае. Это высказывание не зависит от х, его словесное выражение выглядит так «Существует х, для которого истинно». Символ называется квантором существования.

Переменная х в предикате свободна, в высказывании переменная х связана квантором существования.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам.

Например, применение кванторной операции к двухместному предикату, превращает его в одноместный, зависящий только от переменной y.

Рассмотрим предикат , определенный на множестве M={a₁, a₂,…,a_n}. Если тождественно истинен, то истинными будут высказывания …. При этом истинными будут выказывание и конъюнкция . Если найдется хотя бы один элемент a_j из М, на котором , то ложными будут высказывания и конъюнкция . Следовательно, существует равносильность

Рассмотрим предикат , определенный на множестве M={a₁, a₂,…,a_n}. Если тождественно ложен, то ложными будут высказывания …. При этом ложными будут выказывание и дизъюнкция . Если найдется хотя бы один элемент a_j из М, на котором , то истинными будут высказывания и дизъюнкция . Следовательно, существует равносильность

Таким образом, кванторные операции можно трактовать, как обобщение дизъюнкции и конъюнкции на случай бесконечных множеств.

Исчисление предикатов

Исчисление предикатов – это формальная теория, в которой определены следующие компоненты [2].

Алфавит:

связки основные

вспомогательные

служебные символы ( , )

кванторы всеобщности

существования

предметные константы a, b,…a₁, b₁,

переменные x,y,….x₁,y₁

предметные предикаты P, Q, R, ….

функторы f, g, h,….

Формулы: (определены в нотации Бэкуса-Наура)

<формула> ::= <атом> ││<формула> <формула> │

<переменная> <формула> │ <переменная><формула>

<атом> ::= <предикат>( <список термов> )

<список термов> ::= <терм> │<терм> , <список термов>

<терм> ::= <константа> │<переменная> │<функтор> (<список термов> )

Аксиомы:

Кроме того, выполняется любая система аксиом исчисления высказываний.

Правила вывода:

, ,

Исчисление предикатов, в котором кванторы могут связывать только предметные переменные, но не предикаты или функторы, называется исчислением первого порядка.

Исчисления, в которых кванторы связывают не только предметные переменные, но и предикаты, функторы и т.д., называются исчислениями высших порядков.

Равносильные формулы

Рассмотрим основные равносильности исчисления предикатов. Их можно разбить на четыре группы [1,3].

1. Равносильности для двойственности

2. Равносильности для конъюнкции и квантора всеобщности

3. Равносильности для дизъюнкции и квантора существования

4. Вынесение константы

Задача 3

Доказать равносильность.

Решение

Если предикаты P(x) и Q(x) тождественно истинны, то тождественно истинен предикат , а поэтому, будут истинны высказывания

т.е. обе части равносильности принимают значение истина.

В случае, если один из предикатов, например, , ( а как следствие ) будет не тождественно истинен, то ложными будут

Предваренная нормальная форма

Говорят, что формула исчисления предикатов имеет нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкция, дизъюнкция и кванторные операции, а оперция отрицания отнесена к элементарным формулам.

Например, приведение формулы к нормальной форме выглядит следующим образом.

Среди нормальных форм выделяют предваренные нормальные формы (ПНФ), в которых кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо они используются после всех операций алгебры логики.

Например, приведем рассматриваемую формулу к ПНФ

=

=

А для формулы необходимы следующие преобразования.

Теорема

Всякая формула исчисления предикатов может быть приведена к предваренной нормальной форме

Общезначимость и выполнимость

Формула А выполнима в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к области М, при которых формула принимает истинные значения.

Формула А выполнима, если существует область, на которой она выполнима.

Формула А тождественно истинна в области М, если она принимает истинные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Формула А тождественно ложна в области М, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Формула А общезначима, если она тождественно истинна во всякой области.

Разрешимость

Проблема разрешимости для исчисления предикатов ставится стандартно: существует ли алгоритм, позволяющий для любой формулы установить, является ли она общезначимой, выполнимой или тождественно ложной?

Ответ на этот вопрос для бесконечных областей дает теорема Черча.

Теорема Черча

Проблема разрешимости исчисления предикатов в общем виде неразрешима

Очевидно, что проблема разрешимости для конечных областей разрешима.

Литература

1. Лихтарникова Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика/Курс лекций. - СПб.: Издательство «Лань», 1998.-288с

2. .Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб.: Питер, 2001. – 304с

3. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. - М.: Наука. Физматлит, 1999.-544с