Гусева А.И. Дискретная математика: Математическая логика

Лекции 12-13

Исчисление высказываний

Формальные теории

Формальной теорией Τ называется [1]:

1. множество А символов, образующих алфавит,

2. множество слов F в алфавите А, которые называются формулами,

3. подмножество В формул , которые называются аксиомами,

4. множество R отношений на множестве формул , которые называются правилами вывода.

Алфавит может быть конечным или бесконечным.

Множество формул обычно задается индуктивно, как правило, оно бесконечно.

Множества A и F по совокупности определяют язык формальной теории, или сигнатуру.

Множество аксиом может быть конечно или бесконечно. Бесконечное множество аксиом, как правило, задают в виде конечного множества схем и правил порождения из этих схем конкретных аксиом.

Множество правил вывода обычно конечно.

Для каждой формальной теории важнейшими понятиями являются выводимость, интерпретация, общезначимость, разрешимость, непротиворечивость, полнота и независимость.

Выводимость

Пусть - формулы теории Т, т.е. . Если существует такое правило вывода R, что , то говорят, что формула G непосредственно выводима из формул по правилу вывода R:

,

где формулы называются посылками, а формула G – заключением.

Вывод формулы G из формул – – это такая последовательность формул , что F_n=G , а любая формула F_i- либо аксиома, либо исходная формула, либо непосредственный вывод из ранее полученных формул.

Если в теории Т существует вывод формулы G из формул , то записывают

├ G, где–- гипотезы.

Теорема – формула, выводимая только из аксиом, без гипотез.

Интерпретация

Интерпретацией формальной теории T в область интерпретации M называется функция, I:F→M, которая каждой формуле F теории T однозначно сопоставляет некое содержательное высказывание относительно объектов множества M. Это высказывание может быть истинно или ложно, или не иметь истинностного значения. Но если оно истинно, то говорят, что формула выполняется в данной интерпретации.

Разрешимость

Формальная теория Т называется разрешимой, если существует алгоритм, который для любой формулы тории определяет, является она теоремой или нет.

Общезначимость

Формула общезначима (тавтология), если она истинна в любой интерпретации.

Формула называется противоречием, если она ложна в любой интерпретации.

Непротиворечивость

Формальная теория семантически непротиворечива, если ни одна из ее теорем не является противоречием.

Формальная теория формально непротиворечива, если в ней не являются выводимыми одновременно формулы F и .

Полнота

Формальная теория называется полной, если каждому истинному высказыванию соответствует теорема Т.

Независимость

Система аксиом формальной теории называется полной, если ни одна из аксиом не выводится из оставшихся.

Исчисление высказываний.

Алфавит: a, b,…a₁, b₁, … пропозициональные переменные

связки

( , ) служебные символы

Формулы: 1) переменные суть формулы

2) если А, В формулы, то (), () формулы

Аксиомы:

Правило:

Связь между исчислением высказываний и алгеброй высказываний

Теорема

Каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, тождественно истинна в алгебре высказываний.

• Каждая аксиома –тождественно истинная,

• Правило подстановки, примененное к тождественно истинным формулам, приводит к тождественно истинным формулам

• Правило заключения, примененное к тождественно истинным формулам, приводит к тождественно истинным формулам

Разрешимость

Проблема разрешимости для исчисления высказываний разрешима.

Непротиворечивость

Исчисление высказываний непротиворечиво

Полнота

Исчисление высказываний полно в узком смысле, т.е. к системе аксиом нельзя добавить в качестве новой аксиомы недоказуемой в этом исчислении формулы

Исчисление высказываний полно в широком смысле, т.е. всякая тождественно истинная формула алг. выск. доказуема в исчислении высказываний.

Независимость

Система аксиом исчисления высказываний независима.

Другие аксиоматизации

Гильберт, Аккерман

Связки:

Аксиомы:

Правило: MP

Россер

Связки: &,

Аксиомы:

Правило: MP

Литература

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб.: Питер, 2001. – 304с

2. Лихтарникова Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика/Курс лекций. - СПб.: Издательство «Лань», 1998.-288с.

3. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. - М.: Наука. Физматлит, 1999.-544с