Математика

1. Матрицы и их определители

(Попова)

Основные сведения о матрицах

Определение: Матрицей A размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая m строк и n столб-цов. Числа m и n определяют размер матрицы. Условимся обозначать матрицыпрописными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, . . . . Числа. функции или алгебраические выражения, образующие матрицу, называются матричными элементами. Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами. Первый индекс i=1,2,. . . ,m указывает номер строки, а второй индекс j=1,2,. . . ,n — номер столбца, в которых располагается соответствующий элемент.

Здесь и в некоторых последующих формулах под символом матрицы указан ее размер. Часто используется обозначение A = (aij ) матрицы (1.1), в котором i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n.

Определение: Две матрицы A и B одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. aij = bij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,.,n.

Определение: Матрица A = (a11 a12 . . . a1n), состоящая из одной строки, называется матрицей–строкой, а матрица состоящая из одного столбца, — матрицей–столбцом.

Определение: Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу . Эта формула называется разложением по строке. Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

Для матрицы справедлива формула:

где — перестановка чисел от 1 до — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка . Таким образом, в определитель войдёт слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Альтернативные методы вычисления

Метод конденсации Доджсона, основанный на рекурсивной формуле:

где матрицы, получающиеся из исходной вычёркиванием соответствующих строк и столбцов.

Свойства определителей

Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей

2. Ранг матрицы

(Рябцева)

3. Операции над матрицами

(Соловьёва)

4. Сумма и произведение матриц. Определитель произведения квадратных матриц

(Финаева)

5. Матричная форма решения систем уравнения

(Чеботарёв)

6. Классический метод обращения матрицы

(Швечикова)

- алгоритм, применяемый при численном нахождении обратной матрицы. Как и в задаче решения линейных систем, методы численного обращения подразделяются на прямые и итерационные; однако итерационные методы вследствие их трудоемкости играют здесь существенно меньшую роль.

Большинство прямых методов О. м. основано на идее разложения заданной матрицы в произведение легко обращаемых сомножителей. Если

- такое разложение, то

Типичным (и одним из наиболее употребительных) прямых методов О. м. является метод Жордана (см. [1]).

Пусть А- невырожденная матрица порядка п. Построение обратной матрицы А ^-1 происходит в пшагов; результатом k-го шага будет матрица , первые кстолбцов к-рой совпадают с одноименными столбцами единичной матрицы. Переход от (пусть А=А ₀ )к с матричной точки зрения эквивалентен умножению . слева на матрицу , к-рая отличается от единичной лишь (k+1)-м столбцом. Элементы этого столбца выбираются так, чтобы привести (k+1)-й столбец к единичному, и имеют вид

Из соотношений

вытекает

и

Получение факторизованного представления (1) для обратной матрицы требует примерно операций умножения и примерно операций сложения. Приблизительно такое же число дополнительных операций необходимо для того, чтобы перемножить матрицы в (1) и получить явный вид . Во многих приложениях операции О. м. использование факторизованной формы (1) столь же удовлетворительно, что и явного вида. Напр., вычисление произведения , где b- вектор-столбец, требует одинаковой арифметич. работы в обоих случаях. Одинаковы и требования к памяти при реализации на ЭВМ.

В приведенном описании метода Жордана предполагалось для простоты, что все элементы (называемые ведущими элементами) отличны от нуля. В действительности метод Жордана, как и методы типа Гаусса для решения линейных систем, как правило, применяется с той или иной схемой выбора ведущих элементов. Использование такой схемы равносильно введению в (1) дополнительных множителей, учитывающих перестановки строк и столбцов обратной матрицы. Точность вычисленного решения, как и в случае линейных систем, зависит от степени роста матричных элементов на промежуточных шагах метода. Такой рост и, следовательно, ухудшение точности вычисляемого решения в методе Жордана, даже при выборе ведущего элемента, более вероятны, чем в методах типа Гаусса.

Невязкой, соответствующей приближенной обратной матрице Xдля А, наз. матрица . Имеет место оценка

Таким образом, норма невязки является оценкой относительной точности приближенной обратной матрицы X. В этом состоит важное отличие задачи численного О. м. от задачи решения линейных систем, где (напр., в ортогональных методах или методах типа Гаусса) невязка обычно мала, а качество полученного решения зависит от обусловленности системы.

Обращение ряда важных классов матриц может быть достигнуто значительно более экономичными, чем в общем случае, методами. Таковы теплицевы, ганкелевы, ленточные (и, в частности, трехдиагональные) матрицы, блочные матрицы, имеющие теплицеву структуру или структуру кронекерова произведения, и т. д. Напр., пусть Т- теплицева матрица порядка n+1 с элементами из Rили С:

Предполагается, что не только Т, но и ее главная подматрица порядка пневырождены. Тогда для матрицы уже, вообще говоря, не являющейся теплицевой, справедливо представление (см. [2]):

При этом векторы

суть соответственно первый и последний столбцы Таким образом, Тполностью определяется заданием первого и последнего столбцов. При необходимости из (2) могут быть последовательно вычислены все элементы

Это вычисление требует арифметич. операций.

В экономичных алгоритмах обращения теплицевых. матриц (см., напр., [3]) вычисление проводится по рекуррентным формулам и также требует операций. Условие невырожденности главных подматриц может быть ослаблено с сохранением порядка О( п ² )необходимой арифметич. работы.

Иногда операцию О. м. используют с тем, чтобы решать линейные системы по формуле В случае матрицы общего вида такой образ действий имеет мало смысла, т. к. сопровождается проигрышем и в арифметич. работе, и в численной устойчивости по-сравнению с прямым решением линейной системы. Для теплицевых (и родственных им) матриц ситуация иная. Как показывает представление (2), вычисление сводится к выполнению четырех умножений, теплицевых матриц на векторы и вычитанию векторов. Существуют экономичные алгоритмы умножения теплицевой матрицы на вектор, требующие (для порядка п} операций. Для задачи решения теплицевых систем такая асимптотика арифметич. работы пока недостигнута. Поэтому при многократном решении линейных систем с одной и той же теплицевой матрицей и различными правыми частями bпредварительное обращение , по-видимому, целесообразно.

Предварительное О. м. может быть оправданным и в случае многократного решения линейных систем с одной и той же матрицей общего вида на ЭВМ с большим; числом параллельно работающих процессоров. Причина в том, что по сравнению с операцией умножения матрицы на вектор прямые методы решения линейных систем не имеют столь же удобного распараллеливания.

Во многих случаях (напр., в квазиньютоновых методах математич. программирования) требуется обратить матрицу А, отличающуюся от матрицы Вс известной обратной матрицей ранга 1 или (в случае симметричной матрицы В)симметричной матрицей ранга 2. Такая перестройка обратной матрицы может быть выполнена для матриц порядка пза арифметич. операций. Примером может служить следующая формула (см. [4]): если и - векторы-столбцы, то

где считается отличным от нуля.

С точки зрения теории вычислительной сложности задача О. м. общего вида имеет (на последовательной машине) сложность того же порядка, что и задача решения линейной системы (при выполнении нек-рых естественных условий на скорость роста сложности обеих задаче увеличением их порядка [5]). Эта сложность имеет порядок, не превышающий n^log₂ ⁷.

Лит.:[1] Воеводин В. В., Численные методы алгебры, М., 1966; [2] Гохберг И. Ц., Фельдман И. А., Уравнения в свертках п проекционные методы их решения, М., 1971; [3] Trench W., "SIAM J. Contr.", 1964, v. 12, p. 512- 522; [4] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.- Л., 1963; [5J Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж., Построение и анализ вычислительных алгоритмов, пер. с англ., М., 1979.