11. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

(Финаева)

12. Семантические категории. Логические структуры

(Чеботарёв)

13. Двоичное кодирование информации

  Теория кодирования – это раздел теории информации, связанный с задачами кодирования и декодирования сообщений, поступающих к потребителям и посылаемых из источников информации.

Теория кодирования близка к древнейшему искусству тайнописи – криптографии. Над разработкой различных шифров трудились многие известные ученые: философ Ф. Бэкон, математики Д.Кардано, Д. Валлис. Одновременно с развитием методов шифровки развивались приемы расшифровки, или криптоанализа.

В середине ХIХ в. ситуация изменилась. Изобретение телефона и искрового телеграфа поставило перед учеными и инженерами проблему создания новой теории кодирования. Первой ориентированной на технику системой кодирования оказалась азбука Морзе, в которой принято троичное кодирование (точка, тире, пауза).

Двоичное кодирование – один из распространенных способов представления информации. В вычислительных машинах, в роботах и станках с числовым программным управлением, как правило, вся информация, с которой имеет дело устройство, кодируется в виде слов двоичного алфавита.

Двоичный алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Цифровые ЭВМ (персональные компьютеры относятся к классу цифровых) используют двоичное кодирование любой информации. В основном это объясняется тем, что построить техническое устройство, безошибочно различающее 2 разных состояния сигнала, технически оказалось проще, чем то, которое бы безошибочно различало 5 или 10 различных состояний.

К недостаткам двоичного кодирования относят очень длинные записи двоичных кодов, что затрудняет работу с ними.

Двоичное кодирование символьной (текстовой) информации

             Основная операция, производимая над отдельными символами текста - сравнение символов.

При сравнении символов наиболее важными аспектами являются уникальность кода для каждого символа и длина этого кода, а сам выбор принципа кодирования практически не имеет значения.

             Для кодирования текстов используются различные таблицы перекодировки. Важно, чтобы при кодировании и декодировании одного и того же текста использовалась одна и та же таблица.

Таблица перекодировки - таблица, содержащая упорядоченный некоторым образом перечень кодируемых символов, в соответствии с которой происходит преобразование символа в его двоичный код и обратно.

Наиболее популярные таблицы перекодировки: ДКОИ-8, ASCII, CP1251, Unicode.

             Исторически сложилось, что в качестве длины кода для кодирования символов было выбрано 8 бит или 1 байт. Поэтому чаще всего одному  символу текста, хранимому в компьютере, соответствует один байт памяти.

Различных комбинаций из 0 и 1 при длине кода 8 бит может быть 28 = 256, поэтому с помощью одной таблицы перекодировки можно закодировать не более 256 символов. При длине кода в 2 байта (16 бит) можно закодировать 65536 символов.

В настоящее время большая часть пользователей при помощи компьютера обрабатывает текстовую информацию, которая состоит из символов: букв, цифр, знаков препинания и др.    Традиционно для того чтобы закодировать один символ используют количество информации равное 1 байту, т. е. I = 1 байт = 8 бит. При помощи формулы, которая связывает между собой количество возможных событий К и количество информации I, можно вычислить сколько различных символов можно закодировать (считая, что символы - это возможные события):    К = 2I = 28 = 256,    т. е. для представления текстовой информации можно использовать алфавит мощностью 256 символов.    Суть кодирования заключается в том, что каждому символу ставят в соответствие двоичный код от 00000000 до 11111111 или соответствующий ему десятичный код от 0 до 255.    Необходимо помнить, что в настоящее время для кодировки русских букв используют пять различных кодовых таблиц (КОИ - 8, СР1251, СР866, Мас, ISO), причем тексты, закодированные при помощи одной таблицы не будут правильно отображаться в другой кодировке. Наглядно это можно представить в виде фрагмента объединенной таблицы кодировки символов.    Одному и тому же двоичному коду ставится в соответствие различные символы.

Двоичный код	Десятичный код	КОИ8	СР1251	СР866	Мас	ISO
11000010	194	б	В	-	-	Т

Впрочем, в большинстве случаев о перекодировке текстовых документов заботится на пользователь, а специальные программы - конверторы, которые встроены в приложения.    Начиная с 1997 г. последние версии Microsoft Windows&Office поддерживают новую кодировку Unicode, которая на каждый символ отводит по 2 байта, а, поэтому, можно закодировать не 256 символов, а 65536 различных символов.    Чтобы определить числовой код символа можно или воспользоваться кодовой таблицей, или, работая в текстовом редакторе Word 6.0 / 95. Для этого в меню нужно выбрать пункт "Вставка" - "Символ", после чего на экране появляется диалоговая панель Символ. В диалоговом окне появляется таблица символов для выбранного шрифта. Символы в этой таблице располагаются построчно, последовательно слева направо, начиная с символа Пробел (левый верхний угол) и, кончая, буквой "я" (правый нижний угол).    Для определения числового кода символа в кодировке Windows (СР1251) нужно при помощи мыши или клавиш управления курсором выбрать нужный символ, затем щелкнуть по кнопке Клавиша. После этого на экране появляется диалоговая панель Настройка, в которой в нижнем левом углу содержится десятичный числовой код выбранного символа.

14. Дизъюнкция - логическая константа

(Щегловатов)

15. Таблицы истинности для нескольких переменных

(Южмина)

__________________________________________________________________________-

16. Конъюнкция - логическая константа

(Болдырев)

17. Штрих Шеффера и его уникальность

Штрих Ше́ффера — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными.

Таблица значений

X	Y	X|Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Как и любую булеву операцию, штрих Шеффера можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:

либо через отрицание и конъюнкцию

Штрих Шеффера образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,

 — отрицание

 — дизъюнкция

 — конъюнкция

Это позволяет в системе транзисторно-транзисторной логики реализовать всю необходимую логику с использованием единственного типового элемента. Примером может являться промышленная 155 серия. С другой стороны, использование других типовых элементов позволит уменьшить их общее количество и тем самым повысить надёжность схемы.

Элемент, реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом:

В России принято другое обозначение:

Это абсолютно необъяснимо, но штрих (!) Шеффера — это отрицание конъюнкции, а вовсе не дезъюнкции, в то время как любой первоклассник вам скажет, что штрихом в языках программирования обычно обозначается именно дезъюнкция. Раз такое дело, то:

• !A = A|A (впрочем, независимо от)

• AB = ! !(AB) = !(A|B) = (A|B)|(A|B)

• A+B = ! !(A+B) = !(!A!B) = (A|A)|(B|B)

Простите за знак восклицательный, но так проще, чем палку над буквой рисовать. Так, значит отрицание дезъюнкции — это стрелка Пирса. Что ж, это можно запомнить. Вот так: Таблица истинности для A↑B похожа на разделяющую их стрелку. Теперь, наверное, больше не буду путать их. Для стрелки Пирса:

• !A = A↑A

• AB = ! !(AB) = !(!A↑!B) = (A↑A)↑(B↑B)

• A+B = ! !(A+B) = !(A↑B) = (A↑B)↑(A↑B)

Функция flt ( х, у) называется штрихом Шеффера, функцией Шеффера, или отрицанием конъюнкции. Для ее обозначения используют вертикальную черту, разделяющую переменные х и у, то есть / м ( jt, у) х у, или же используют такую запись: fu ( x y) ху. Последнее обозначение подчеркивает, что функция может быть получена путем суперпозиции функций отрицания и конъюнкции. Под суперпозицией понимается подстановка одних функций вместо аргументов в другие функции. 

Существенную роль в математической логике играет логический оператор, называемый штрих Шеффера - знак /, выражающий несовместность высказываний. 

Рассмотрим теперь базис Бщ, состоящий из одной функции - штриха Шеффера. 

К универсальным относятся функции запрета, стрелка Пирса, импликация и штрих Шеффера. Это важное свойство позволяет на основе только одного типа логических элементов, реализующих функции, создавать сколь угодно сложные цифровые устройства. 

Фон Нейман доказывает, что при определенных условиях можно скомбинировать ненадежные элементыштриха Шеффера так, чтобы получился элемент, который будет действовать подобно элементу штриха Шеффера высокой надежности. 

Функционально полной является система, состоящая из одной булевой функции И - НЕ ( штрих Шеффера): - х; функциональной полнотой обладает и система, содержащая единственную булеву функцию ИЛИ - НЕ ( стрелка Пирса): , V 2 - Существуют и другие функционально полные системы булевых функций. 

Доказательство приведенных тождеств может быть получено, например, путем замены стрелки Пирса иштриха Шеффера операциями булевой алгебры с последующими преобразованиями. 

Таким образом, та же степень повышения надежности, которая требует увеличения числа элементов штриха Шеффера в 50 000 - 70 000 раз, достигается увеличением числа ненадежных реле только в 80 - 120 раз. 

Логические функции двух переменных реализуются с помощью одного ( конъюнкция, дизъюнкция, импликация и другие) или двух ( штрих Шеффера, стрелка Пирса, равнозначность и другие) пневматических реле. Комбинации нескольких элементов позволяют произвести набор логических схем, реализующих ряд логических функций. 

Знаки логических отношений в некотором смысле взаимозаменяемы, например, используя отрицание и дизъюнкцию, или отрицание и конъюнкцию, или только штрих Шеффера, можно выразить все остальные отношения. 

Емкость современных флэш-дисков, изготовленных на основе многоуровневых ячеек ( MultyLevel Cell, MLC) на базе логических схем NAND ( Не-И, штрих Шеффера), достигает нескольких гигабайтов при крайне миниатюрных размерах. 

Интересно разобраться в том, почему применение реле требует такого малого увеличения числа элементов по сравнению с тем, что представляется необходимым в случае элементов штриха Шеффера. Конечно, не доказано1), что способ повышения надежности, используемый фон Нейманом, приводит к наилучшему использованию этих элементов. Одно различие между этими двумя типами элементов, которое может объяснить получающееся расхождение, состоит в следующем. В случае ненадежных реле ошибки возникают при дублировании переменных. Состояния различных контактов реле не вполне соответствуют состоянию обмотки, а подвержены случайным отклонениям.

Фон Нейман доказывает, что при определенных условиях можно скомбинировать ненадежные элементы штриха Шеффера так, чтобы получился элемент, который будет действовать подобно элементу штриха Шеффера высокой надежности. 

Как уже указывалось выше, элементы второй группы реализуют М ноговходовые функции дизъюнкция н стрелка Пирса, но для реализации чао о встречающихся в схемах многовходовых функций конъюнкция иштрих Шеффера ( с помощью. При использовании трех пассивных элементов И системы ПЭРА ( см. рис. 29 6), имеющих весьма простую конструкцию и малые габаритные размеры, и элементов ЭПМ1 и ЭПМ2 на три входа системы КОМПАС ( см. рис. 16 г, д) могут быть созданы активные элементы, реализующие функции y ( xix2x3xi / x5 / x6) x1 и y ( XiX2XзXi / Xs / X6) x при каскадном соединении пассивных элементов И между собой и подаче выходного сигнала последнего в каскаде элемента на один из входов активного элемента у ( XiX2 / XsXi / X5X6) x7 и у ( xiX2Vx3Xb / X5Xe) Xi при индивидуальном использовании пассивных элементов И и подаче выходного сигнала каждого из этих элементов на один из трех входов активного элемента. Пассивные элементы рационально разместить в гибридных элементах над активным элементом. При этом габаритные размеры в плане гибридных элементов не увеличиваются по сравнению с размерами элементов ЭПМ4 и ЭПМ2 ( 26X26 мм), а по высоте увеличиваются не более чем на 15 - 20 мм. Естественно, что вместе с расширением функциональных возможностей у гибридных элементов возрастает их избыточность при построении схем, поэтому они должны не заменить элементы ЭПМ1 и ЭПМ2, а лишь дополнить их в системе. 

Использование функциональной разделимости видов ( 1) и ( 2) может оказаться полезным во многих случаях минимизации переключательных схем, особенно при построении схем из функциональных элементов, реализующих функции штрих Шеффера и стрелка Пирса. 

Как штрих Шеффера, так и стрелка Пирса образуют полную систему функций ( что следует из формул де Моргана), вследствие чего схемы И-НЕ и ИЛИ-НЕ называются универсальными логическими элементами.

Она обладает тем свойством, что через нее можно выразить все логические функции. Элемент штриха Шеффера - это элемент с двумя двоичными входами и одним двоичным выходом, который реализует эту логическую операцию. Ненадежный элемент такого типа дает правильную выходную величину только с некоторой вероятностью. 

Прежде всего метод фон Неймана применим только при определенной, достаточно высокой надежности его элементов. При применении элемента штриха Шеффера абсолютно необходима вероятность ошибки меньшая чем 1 / в, а иногда при построении специальных схем, исправляющих ошибки, требуется вероятность ошибки порядка 1 / 100 или еще меньшая. Развиваемые же нами методы применимы к произвольно ненадежным реле. 

Однако эффект элемента штриха Шеффера может быть получен путем использования схемы рис. 19, в которой два реле X и Y, каждое из которых имеет по одному размыкающему контакту, обозначенному соответственно х и у, объединены в такой элемент. Такая схема в качестве элемента штриха Шеффера имеет надежность, лишь немного меньшую, чем ее компоненты, и она может быть использована в схемах, описанных фон Нейманом. Таким образом, для получения весьма высокой надежности, когда схемы фон Неймана имеют преимущество, можно строить схемы с увеличением числа элементов порядка первой степени логарифма 61; причем это увеличение будет немного больше, чем в случае элементов штриха Шеффера. 

Каноническая форма (3.53) называется СНФ типа И - НЕ / И - НЕ. В этой форме внешней и внутренней функцией является штрих Шеффера.

Была введена индивидуальная функция С /, к-рая обобщала штрих Шеффера [ если / и g - одноместные пропозициональные функции, то Ufg интерпретируется как ( Ух) ( / ( х) - - g ( x) ], и было показано, что каждую формулу исчисления предикатов можно представить в виде комбинации из букв U, S, К ( и скобок), откуда и название К. 

Интересно отметить, что, используя логические эквивалентности, можно любой логический оператор определить через другие логические операторы. Более того, в числе логических операторов следует выделить оператор штрих Шеффера 2, с помощью которого можно определить все логические операции. 

Функционально полной будет также система, состоящая из одной-единственной булевой функции Штрих Шеффера - f ( x, у) - - ху. 

Модули СТ-8А, СТ-8Б, СТ-8В, СТ-8Г предназначены для выполнения логических операций над двумя логическими переменными, поданными на вход. Эта группа модулей выполняет такие логические операции, как равнозначность и неравнозначность, штрих Шеффера, импликация, стрелка Пирса. 

На рис. 6.7, в, г показаны схемы для реализации двух-входовых логических функций. Схема, представленная на рис. 6.7, в, позволяет одновременно реализовать операции Конъюнкция и Штрих Шеффера, а схема на рис. 6.7 г реализует логические функции Дизъюнкция и Стрелка Пирса. Так как указанные пары функций соответственно инверсны, то сигналы с выходов рассмотренных схем можно непосредственно посылать на последующие логические устройства, работающие по двухпроводной схеме. 

Сделаем еще несколько замечаний относительно введенных выше функций. Функция ху ( отрицание произведения), характеризуемая кортежем ( 1110), и определяемая ею бинарная операция называются обычноштрихом Шеффера. Легко проверить ( используя определения отрицания и дизъюнкции), что штрих Шеффера может быть представлен не только в виде отрицания произведе. 

На рис. 3.2, б показан элемент, обеспечивающий реализацию дизъюнкции. На рис. 3.2, в показан элемент, выполняющий операцию равнозначность; на рис. 3.2, г - элемент, которым реализуется операция штрих Шеффера. 

В случае реле сторожа вне подозрений; в случае нейроноподобных элементов сторожа должны бдительно контролироваться другими сторожами. Это принципиальное различие может объяснить разницу в увеличении числа элементов и, возможно, также тот факт, что в случае использования элементов штриха Шеффера для их контролирования необходима некоторая степень надежности. В случае использования реле этого не требуется. 

Заметим, для задания кванторов используется функциональная нотация языка Пролог. Следует отметить, что реализация метода аналитических таблиц наряду с обычными логическими связками ( &, V, - 1, -) поддерживает нетрадиционные логические связки, например, эквивалентность, стрелку Пирса и штрих Шеффера. 

В зависимости от схемы его включения оно позволяет реализовать любые логически функции, в там числе: дизъюнкцию двух переменных ( лолуак-тнвная и пассивная схемы), конъюнкцию двух переменных и запрет ( пассивная схема), импликацию ( полуактивная схема), повторение и отрицание ( активная схема), которые реализуются с помощью одного реле, а также равнозначность, неравнозначность, штрих Шеффера, стрелка Пирса, реализуемые с помощью двух реле. На основе универсального реле строятся также многотактные логические схемы и схемы формирования прямоугольных импульсов. 

Существенную роль в математической логике играет логический оператор, называемый штрих Шеффера - знак /, выражающий несовместность высказываний. Операции с использованием штриха Шеффера подчиняются закону коммуникативности А / В В / А. 

Сделаем еще несколько замечаний относительно введенных выше функций. Функция ху ( отрицание произведения), характеризуемая кортежем ( 1110), и определяемая ею бинарная операция называются обычно штрихом Шеффера. Легко проверить ( используя определения отрицания и дизъюнкции), что штрих Шеффераможет быть представлен не только в виде отрицания произведе. 

Шеффера, и др. Методы синтеза структур из этих звеньев основаны на минимизации логич. Методы синтеза структур из др. наборов элементов ( например, из элементов, реализующих штрих Шеффера, или из пороговых элементов) менее разработаны и, как правило, не претендуют на абс. 

Однако эффект элемента штриха Шеффера может быть получен путем использования схемы рис. 19, в которой два реле X и Y, каждое из которых имеет по одному размыкающему контакту, обозначенному соответственно х и у, объединены в такой элемент. Такая схема в качестве элемента штриха Шеффера имеет надежность, лишь немного меньшую, чем ее компоненты, и она может быть использована в схемах, описанных фон Нейманом. Таким образом, для получения весьма высокой надежности, когда схемы фон Неймана имеют преимущество, можно строить схемы с увеличением числа элементов порядка первой степени логарифма 61; причем это увеличение будет немного больше, чем в случае элементов штриха Шеффера. 

В случае использования нейроноподобных элементов штриха Шеффера положение обратно. Однако когда формируются логические комбинации двух или более переменных в элементе штриха Шеффера или в смесителе, появляются случайные ошибки. Далее, в обоих типах устройств статистически ненадежные части должны контролироваться логическими операциями, включающими в себя своего рода голосование. 

Учитывая возможность преобразования на основании законов инверсии конъюнкции в дизъюнкцию и наоборот, для получения всех функций алгебры логики достаточно иметь две функции - конъюнкцию или дизъюнкцию и инверсию. Возможно использовать и системы ( наборы) других функций. На основании одной функции ИЛИ - НЕ ( стрелка Пирса) или И - НЕ ( штрих Шеффера) можно получить любые ЛФ. 

Схемы третьего столбца ( в, ж, л) отличаются тем, что вместо одного лампового или полупроводникового триода в них включаются параллельно два триода с независимыми входами. Действительно, в схемах в и ж на выходе появляется сигнал, соответствующий символу 0, тогда и только тогда, когда на оба входа подаются нулевые сигналы; в схеме л символ 1 на выходе будет только тогда, когда на оба входа поданы единицы. Схемы четвертого столбца ( г, з, м) получаются из схем инверторов ( первый столбец) таким же образом, как были получены схемы третьего столбца из схем повторителей. Схемы, г п з ( на ламповом триоде и на транзисторе типа и-р-га) реализуют операцию стрелка Пирса, в них единица на выходе будет только при нулевых сигналах на обоих входах; схема м реализует операцию штрих Шеффера - ноль на выходе будет только при единицах на обоих входах.