§5. Замечательные пределы

В теории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов.

Теорема. Функция при имеет предел равный 1: ,

данный предел называется первым замечательным пределом.

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность на рис. 44.

Рис. 44.

Пусть , ∠COB = x, , OC = OB = r = 1, AC=sinх, OA=cosx, BD=tg x. Сравнивая площади треугольника OAC, сектора OBC и треугольника OBD, получаем ,

.

Разделим двойное неравенство на >0:

. (1)

Неравенство (1) справедливо для x<0, так как , . Перейдем к пределу при x→0: - функция непрерывная, cosx→ cos(0) =1. В неравенстве (1), переходя к пределу, получаем:

, т.е. .

! В первом замечательном пределе имеет место неопределенность .

Следствие из теоремы:

1.     ; 4. ;

2.     ; 5. , где - число.

3.     ;

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Если x→0, то и , тогда

Теорема. Функция , при имеет предел:

, где

. Более точно , т.е. число – иррациональное число. Данный предел называется вторым замечательным пределом.

В результате замены переменной получается еще одна форма записи второго замечательного предела:

.

Следствие из теоремы:

1.     ; 2.  .

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. Представим функцию в виде . Тогда функция эквивалентна функции при . Следовательно,

.

§6. Техника вычисления различных пределов

Рассмотрим несколько основных приёмов, применяемых при вычислении пределов последовательностей и функций:

Прием №1. Если функция элементарная и предельное значение аргумента принадлежит ее ОДЗ, то вычисление предела сводится к вычислению значения функции;

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Так как , то числитель дроби стремится к числу , а знаменатель – к числу . Следовательно = .

Прием №2. Если функция дробно-рациональная, при неопределенности типа нужно числитель и знаменатель дроби делить на высшую степень х и применить свойство бесконечно большой функции ;

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Упростим числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения:

.

Числитель и знаменатель дроби при неограниченно возрастают. В

этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделив

на числитель и знаменатель дроби, получаем .

Из свойств пределов и свойств бесконечно малых функций следует, что

.

Прием №3. Если функция дробно-рациональная, при неопределенности типа следует числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить;

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю (неопределенность вида ). Разложив числитель и знаменатель на множители, получим

Прием №4. Для преобразования радикалов(корней) в дробном выражении, используя основное свойство дроби следует умножить на сопряженные множители;

Пример 7. Вычислить предел .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Для того чтобы избавиться от неопределенности , умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Тогда, используя формулу сокращенного умножения, получим

.

Прием №5. Предел от тригонометрических функций, неопределенности типа могут раскрываться при помощи первого замечательного предела и его следствий;

Пример 8. Вычислить предел .

Решение. Используем теорему о первом замечательном пределе и следствие из нее: .

Прием №6. Неопределенность типа могут раскрывать при помощи второго замечательного предела и его следствий;

Пример 9. Вычислить предел .

Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

.

Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

.

Так как является бесконечно малой функцией при ,

.
Учитывая, что , находим . ! Вспомогательные формулы: .

Прием №7. При вычислении пределов вида возникают неопределенности вида , , можно воспользоваться формулой:

. (2)

Пример 10. Вычислить предел .

Решение. Применяя формулу (2), получаем .

Прием №8. В случае неопределенностей _или необходимо выражение сделать дробным и привести к неопределенностям типа , , далее применить известный прием.