Понятие делимости.

1. Известно, что aЄZ. Верно ли высказывание:

а) если а делится на 15, то а делится на 5;

б) если а делится на 5, то а делится на 15?

2. Пусть А – множество чисел, кратных 22. Принадлежит ли множеству А:

а) любое число, кратное 44;

б) любое число, кратное 11?

3. Известно, что А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 8. Верно ли высказывание:

а) АЄВ

б) ВЄА

4. Пусть Х – множество чисел, кратных 15. Укажите два каких-либо бесконечных его подмножества.

5. Постройте схему Эйлера для множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 36, В – множество чисел, кратных 12.

6. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества Х и У и охарактеризуйте их пересечение, если:

а) Х – множество нечетных чисел, У – множество чисел, кратных 3;

б) Х – множество чисел, кратных 8, У – множество чисел, кратных 4.

7. Пусть Р – множество чисел, кратных 12, М – множество чисел, кратных 8. Укажите два каких-либо которые:

а) принадлежат каждому из множеств;

б) принадлежат множеству Р, но не принадлежат множеству М;

в) принадлежат множеству М, но не принадлежат множеству Р.

Покажите соотношение между множествами Р и М с помощью кругов Эйлера.

8 . Приведите пример каких-либо множеств А и В, соотношение между которыми показано с помощью схемы Эйлера на рисунке 1.

а) б)

Рис.1

9. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 5, В – множество чисел, кратных 10.

10. Докажите, что:

а) 3²¹ + 3²² + 3²³ делится на 13;

б)2⁵⁸ – 5¹⁵ делится на 4.

Свойства деления с остатком

1. Из данных пар чисел выберите те, которые при делении на 5 дают равные остатки:

166 и 116; –78 и –12; –24 и 11.

2. Укажите два положительных и два отрицательных числа, которые при делении на 4 дают такой же остаток, что и число 78.

3. Известно, что разность 127 – а делится на 7. Какой остаток при делении на 7 дает число а?

4. Какой остаток получится при делении:

а) 3¹⁶⁸ на 10;

б) 5¹⁴⁶ на 6?

5. Найдите остаток от деления:

а) 2·3⁵⁴ на 13;

б) 7·15⁸ на 14.

6. Докажите, что:

а) 2¹² + 8 делится на 9;

б) 7³⁶ – 1 делится на 10.

7. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 2784 и 7008;

б) 5964 и 8148

Приложение 2

Понятие делимости

1. Известно, что aЄZ. Верно ли высказывание:

а) если а делится на 9, то а делится на 18;

б) если а делится на 18, то а делится на 9?

2. Пусть С – множество чисел, кратных 14. Принадлежит ли множеству С:

а) любое число, кратное 28;

б) любое число, кратное 7?

3. Известно, что Р – множество четных чисел, Х – множество чисел, кратных 4. Верно ли высказывание:

а) РЄХ

б) ХЄР

4. Пусть У – множество чисел, кратных 12. Укажите два каких-либо бесконечных его подмножества.

5. Постройте схему Эйлера для множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 8, В – множество чисел, кратных 16.

6. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества А и В и охарактеризуйте их пересечение, если:

а) А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 5;

б) А – множество чисел, кратных 6, В – множество чисел, кратных 3.

7. Пусть F – множество чисел, кратных 10, К – множество чисел, кратных 15. Укажите два каких-либо которые:

а) принадлежат каждому из множеств;

б) принадлежат множеству F, но не принадлежат множеству К;

в) принадлежат множеству К, но не принадлежат множеству F.

Покажите соотношение между множествами F и К с помощью кругов Эйлера.

8. Приведите пример каких-либо множеств Х и У, соотношение между которыми показано с помощью схемы Эйлера на рисунке 2.

а) б)

Рис.2

9. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, если А – множество чисел, кратных 36, В – множество чисел, кратных 12.

10. Докажите, что:

а) 5¹⁶+ 5¹⁷ + 5¹⁹ делится на 131;

б)8⁶ – 2¹⁵ делится на 7.