Аналитический и графо-аналитический методы

Аналитический метод для решения задач в горном деле был разработан профессором Б.И.Бокием (1929 г.), акад. Л.Д.Шевяковым и применительно к условиям рудных месторождений развит акад. М.И.Агошковым, профессорами П.И.Городецким, И.А.Кузнецовым и др.

Метод аналитический основан на установлении функциональных зависимостей между исследуемыми параметрами и стоимостными показателями и отыскании оптимальных значений этих параметров при решении задачи на оптимум аналитическим путем.

Эти функциональные зависимости должны иметь непрерывный характер и на графике представлять собой либо выпуклую вверх кривую (если в качестве критерия служит прибыль), либо вогнутую вниз (если в качестве критерия принимаются затраты). Функция должна быть пригодной для того, чтобы взять от нее первую производную.

Аналитический метод может использоваться для предварительных расчетов по выбору производственной мощности рудника, определению размеров шахтного поля, высоты этажа, некоторых параметров систем разработки, транспорта, энергоснабжения и т.д.

При решении задач оптимизации параметров горных работ аналитическим методом предполагается, что стоимостной показатель с_д (себестоимость) зависит от искомого параметра х согласно какой-то известной зависимости. Например, по следующей формуле:

,

где а, b, c - постоянные стоимостные коэффициенты, с_д - себестоимость добычи. Приравнивая нулю первую производную от этого выражения

находят, что

.

Если изменение искомого параметра функционально связано с изменением извлекаемой ценности полезного ископаемого в качестве критерия лучше принимать величину прибыли.

Если решается задачи на экстремум не с одним, а с двумя или несколькими неизвестными, то соответственно их числу составляют два или несколько уравнений.

Недостаток аналитического метода в том, что он непригоден при прерывных функциях, не раскрывает сущности закономерностей изменения функций, а дает лишь точечное значение, которое иногда может очень мало отличаться от соседних значений в довольно широких пределах. Второй недостаток - сложность получения информации для расчетов, что при ручном счете является немаловажным фактором.

Для более детального изучения характера изменения зависимостей применяют графо-аналитический метод, при котором для наглядности этого изменения строятся графики области оптимума, или графический метод, при котором вся зависимость изображается в виде графика. В этом случае зависимость может быть не только непрерывной, но и дискретной.

Вероятностные методы.

Особенностью информации для проектирования рудников является ее вероятностный характер. Большинство исходных данных для проектирования рудника, принимаемых, как правило, детерминированными, на самом деле являются таковыми лишь с той или иной вероятностью.

Поэтому при проектировании широко используется предыдущий опыт уже осуществленных проектов.

Например, при проектировании выработки, необходимо определить скорость ее проходки. Можно воспользоваться расчетным методом, основываясь на данных о длительности процессов бурения, заряжания, уборки…в натурных условиях.

Пусть мы наблюдаем операцию бурения шпуров определенной глубины. Вот что могло бы получиться в результате.

	Номера шпуров
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Время бурения, Т, мин	3	4	3	5	2	3	4	3	2	5

Какую величину из наблюденных можно принимать в проекте?

Для того, чтобы различные величины одного процесса могли быть использованы при проектировании, их сравнивают по степени возможности, числовая характеристика которой называется вероятностью. Для события А формула вероятности записывается следующим образом:

,

где m- число случаев, когда событие А может произойти, n – общее число случаев.

Событие А называют случайным, а числовую характеристику этого события-случайной величиной.

В нашем примере время бурения шпура – случайная величина.

Очевидно, что вероятность невозможного события равна 0, достоверного – 1, возможного – от 0 до 1.

В нашем случае невозможное событие (2<Т>5), и его вероятность

Р(2<Т>5) =0/10=0.

Достоверное событие (2≤Т≤5), и его вероятность

Р(2≤Т≤5)= 10/10=1.

Примером возможного события может быть (2≤Т≤4), и его вероятность

Р(2≤Т≤4)= 8/10=0,8

Вот какие вероятности мы можем получить из нашего ряда наблюдений

Р(2)=2/10=0,2

Р(3)=4/10=0,4

Р(4)=2/10=0,2

Р(5)=2/10=0,2

Заметим, что сумма вероятностей событий равна 1

Наблюденная информация о случайной или графика плотности распределения.

Случайная величина величине может быть представлена в виде гистограммы, полигона или описана числовыми характеристиками или законом распределения.

Числовые характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины х, которая может принимать значения х₁, х₂,…,х_к с вероятностью Р₁, Р₂, …, Р_к при дискретном распределении определяется равенством

=0,2*2+0,4*3+0,2*4+0,2*5=3,4,

МО характеризует среднее значение случайной величины:

=(3+4+3+5+2+3+4+3+2+5)/10=3,4

Дисперсия характеризует разброс случайной величины от ее математического ожидания

=1.15.

Поскольку размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины, для оценки разброса используют среднеквадратическое отклонение

Ơ_х=√D(х)=1,07

Удобной характеристикой случайной величины является коэффициент вариации, который показывает относительный разброс случайной величины

=0,314.

Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон ее распределения

Он (ЗР) показывает какова вероятность появления каждого возможного значения СВ. Законов распределения достаточно много.

В практике решения задач для горной промышленности часто применяется нормальный закон распределения. Он имеет две формы представления: плотность распределения (дифференциальная функция)

и функцию распределения (интегральный закон)

dx

С помощью графика плотности вероятностей можно определить: чему равна вероятность того, что что случайная величина Х будет не больше величины А, т.е. Р(Х≤А).

Эта вероятность равна заштрихованной площади. Зная Р(Х≤А), нетрудно понять, что СВ Х будет не меньше А, т. е. Р(Х≥А). – (незаштрихованная площадь)

Очевидно, что

Р(Х≤А )+Р(Х≥А)=1, и Р(Х≥А)=1- Р(Х≤А )

В жизни никто эти площади не считает, существуют специальные таблицы.

Вероятностные методы совершенно необходимы для определения достоверности различных данных и показателей, расчетов практически большинства задач проектирования рудника. Они применяются для оценки точности подсчета величины запасов и содержания металлов в руде, при опробовании руд, особенно в условиях сложных рудных месторождений. Широкое применение они находят при исследовании различных стохастических процессов, особенно таких, как выпуск руды из блоков, усреднение и шихтовка руд и т.п.

Без вероятностной оценки невозможно правильно решить такие задачи, как обоснование оптимальной величины (нормативов) вскрытых, подготовленных и готовых к выемке запасов, оптимизация календарного плана строительства и эксплуатации рудника. На сложных рудных месторождениях вероятностный подход позволит избежать ошибок при решении такой важной задачи, как определение производственной мощности рудника, вероятностные методы необходимы также при выполнении различного рода прогнозов, которые в деле проектирования имеют большое значение.