3.8. Центрирование случайной величины

Центрирование случайной величины - преобразование случайной величины с целью получения распределения с центром в нуле. Центрирование случайной величины производится путём вычитания из неё среднего значения выборки; получаемое при этом распределение называется центрированным. Такое преобразование случайной величины позволяет вычислять центральные моменты распределения.

3.9. Стандартизация случайной величины

Стандартизация случайной величины - преобразование случайной величины с целью получения распределения с центром в нуле и дисперсией равной единице. Стандартизация случайной величины производится путём вычитания из неё среднего значения выборки и деления на квадратичное отклонение:

(37)

(38)

где M_x и - математическое ожидание и его оценка, соответственно, а σ_x и s_x - генеральное стандартное отклонение и квадратичное отклонение. В результате стандартизации случайная величина, в общем случае, имеющая ту или иную размерность становится безразмерной. Кроме этого, появляется некоторая возможность непосредственного сравнения разных распределений, поскольку случайные величины становятся соизмеримыми. Например, все значения стандартизованной случайной величины в большинстве случаев укладываются в интервал от -3 до +3, поскольку вероятность отклонения нормально распределённой случайной величины от её математического ожидания на величину большую 3σ меньше 0,003 (правило трёх сигма).

3.10. Стандартизованное нормальное распределение

Аналогично процедуре стандартизации случайной величины (37) и (38) можно произвести нормирование случайной величины в выражении для нормального закона (16). Это позволит сравнивать любые распределения с нормальным. Кроме этого, интегрирование можно будет произвести в общем виде. Стандартизованное нормальное распределение - нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, плотность вероятности которого выражается уравнением:

(39)

где z - стандартизованная случайная величина, определяемая выражениями (37) или (38).

Можно доказать, что точками перегиба кривой плотности вероятности служат точки x= 1 (в общем случае нормального распределения точки ). Функция распределения вероятностей определяется выражением:

(40)

Выражение (40) ещё называют кумулятивной функцией распределения стандартизованного нормального распределения, в отличие от нормального (16) интеграл (40) табличный. Функция распределения F₀(z) определяет вероятность того, что случайная величина Z примет значение меньшее, чем z:

(41)

Вероятность наблюдения случайной величины Z в интервале 2z с центром в нуле (в математическом ожидании нормированной случайной величины z) равна

(42)

Очевидно, что вероятность наблюдения случайной величины Z за пределами интервала (-z÷z) будет равна сумме двух площадей под кривой по её краям, т.е.

(43)

Это следует из факта симметричности кривой p₀(z).