3.4. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Математическое ожидание, среднее значение, - одна из важнейших числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины. Для случайной величины X, принимающей последовательность значений x₁, x₂,..., x_i,... с вероятностями, равными соответственно p₁, p₂,..., p_i,... , математическое ожидание определяется:

для дискретной случайной величины формулой:

(10)

для непрерывной случайной величины формулой:

(11)

Математическое ожидание характеризует наиболее вероятное расположение значений случайной величины. Название "математическое ожидание" происходит от понятия "ожидаемого значения выигрыша" (математического ожидания выигрыша), впервые появившегося в теории азартных игр в трудах Б.Паскаля и Х.Гюйгенса в XVII в. Но впервые в полной мере это понятие было оценено и использовано П.Л.Чебышевым (сер. XIX в.); термин "математическое ожидание" ввёл П.Лаплас (1795).

Существуют несколько способов оценки математического ожидания по результатам выборки, но только некоторые из них используются практически. В большинстве случаев важно знать среднее значение выборки или совокупности, на практике используются три вида среднего значения, - мода, медиана и среднее арифметическое. Максимуму кривой плотности вероятностей соответствует мода, это наиболее вероятный результат. Мода в статистике - то, что в обычной жизни считается массовым, типичным. Примером моды является цена, по которой данный товар чаще всего реализуется на рынке. Если распределение асимметрично, то иногда представляет интерес медиана, - то значение случайной величины, которое делит распределение на две равные части. Другими словами, вероятности событий по обе стороны медианы одинаковы. Следующим средним значением является среднее арифметическое, его проще всех вычислить и, отчасти по этой причине, оно нашло наиболее широкое применение. Кроме этого, в условиях нормального распределения арифметическое среднее имеет наименьшую дисперсию. В условиях асимметричных кривых распределения медиана расположена между модой и средним арифметическим. Следует заметить, что кроме арифметического среднего в науке и технике применяют также: геометрическое среднее, x_g, гармоническое среднее, x_h, квадратичное среднее, x_s, кубическое среднее, s_cub; при этом x_h<x_g<x_ср<x_s<x_cub.

Дисперсия (< лат. disperse - рассеянно, разбросанно, там и сям; dispersio - рассеяние, разбросанность) в математической статистике и теории вероятностей - одна из характеристик распределения вероятностей случайной величины, наиболее употребительная мера рассеяния её значений, т.е. отклонения её от среднего; дисперсия - центральный момент второго порядка. В теории вероятностей дисперсия, DX, случайной величины X определяется как математическое ожидание E(X-M_x)² квадрата отклонения X от её математического ожидания M_x=EX. Для случайной величины с дискретным распределением дисперсия определяется формулой

(12)

где вероятность p_i=P(X=x_i), при условии, что ряд сходится. Для случайной величины X с непрерывным распределением, имеющим плотность вероятности p(x), - формулой

(13)

если этот интеграл сходится. Дисперсия имеет важное значение в характеристике качества статистической оценки случайной величины. Наряду с дисперсией в качестве меры рассеяния (той же размерности, что и сама случайная величина) используется квадратный корень из дисперсии: σ = , называемый квадратичным отклонением X. Если DX=0, то случайная величина X принимает с вероятностью 1 единственное значение M_x. Поскольку в реальной жизни математическое ожидание - величина неизвестная, на практике определяют среднее значение выборки и выборочную дисперсию:

(14)

(15)

где n_оп - число опытов в выборке, ν_оп=n_оп-1 - число степеней свободы выборочной дисперсии.

Для оценки результатов наблюдений одной дисперсии недостаточно. Корень квадратный из выборочной дисперсии называется квадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартом. Начинающие исследователи обычно с трудом развивают интуитивное восприятие численного значения дисперсии или стандартного отклонения. Является ли дисперсия, равная, например, 777, большой или малой? Что значит стандартное отклонение 0,51·10^-4? Оказывается, для интерпретации как дисперсии, так и стандартного отклонения главное не получить численные значения последних, а правильно сравнить дисперсию исследуемой выборки с какой-либо другой дисперсией, или стандартное отклонение умножить на правильно выбранный критерий Стьюдента, чтобы получить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания.