3.3. Распределение случайной величины

Для дискретных случайных величин характерно то, что они могут принимать те или иные значения только в фиксированных интервалах и их значения в разных интервалах скачкообразно изменяются. Если случайная величина дискретна, то сумма всех скачков значений функции распределения равна 1. Значения дискретных случайных величин определяются с абсолютной точностью. Другими словами, результат события однозначен. Например, исход бросания идеальной монеты - "герб" или "решка"; исход бросания идеальной игральной кости, число "очков", - целое число от единицы до шести, исход бросания двух игральных костей - целое число от двух до двенадцати, конечно количество бракованных изделий в партии и др.

Для дискретных случайных величин принято пользоваться вероятностью события X x, где x - целое число, принадлежащее интервалу (x_min, x_max), а X - случайная величина. Эта вероятность является функцией от x:

(3)

и называется функцией распределения дискретной случайной величины. Если случайная величина X принимает конечное число дискретных значений (например, число очков на гранях игральной кости), то функция распределения вероятностей этой случайной величины представляет собой ступенчатую функцию (см. лекцию). В соответствии с таким определением вероятность выпадения нуля для идеальной игральной кости равна нулю (предполагается, что идеальная игральная кость не может встать на угол или ребро), вероятность выпадения одного очка равна 1/6, одного или двух - 2/6 и т.д. Вероятность выпадения любого результата от 1 до 6 равна 1, это достоверное событие.

Для непрерывных случайных величин принято пользоваться вероятностью события X<x, где x - произвольное действительное число, принадлежащее интервалу , а X - случайная величина. Эта вероятность является функцией от x:

(4)

и называется функцией распределения непрерывной случайной величины (ср. с (3)). Примером функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины является положение стрелки часов в случайные моменты времени (см. лекцию). Очевидно, что функция распределения вероятностей является монотонной и неубывающей.

Для произвольной функции F(x) если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂) (рис. 7). Максимальное значение F(x)=1. Ордината кривой, соответствующая точке x₁, представляет собой вероятность того, что случайная величина X при испытании окажется меньше x₁. Ордината кривой, соответствующая точке x₂, представляет собой вероятность того, что случайная величина X при испытании окажется меньше x₂. Разность двух ординат, соответствующая точкам x₁ и x₂, даёт вероятность того, что значения случайной величины будут лежать в интервале между x₁ и x₂:

(5)

Очевидно, что при предельных значениях аргумента:

(6)

Непрерывными случайными величинами являются, например, температура, давление, концентрация, размеры и масса частиц дисперсной фазы, величина пор породы, коэффициент проницаемости и др. В отличие от дискретной случайной величины, каждый результат измерения непрерывной случайной величины X уникален и неповторим, а вероятность получения конкретного точного значения равна нулю. Это объясняется тем, что при повышении точности измерения одной и той же физической величины всегда будет некоторая разность между двумя любыми измерениями. С другой стороны, если точность собственно измерения физической величины постоянна, но процесс развивается во времени и/или в пространстве (например, химическая реакция, движение жидкости, изменение температуры тела и т.п.), то совокупное влияние множества случайных факторов, сопровождающих исследуемый процесс, в той или иной степени исказит результаты всех измерений и зависимость исследуемой физической величины от независимой не будет идеально гладкой, - экспериментальная зависимость будет представлять собой ломанную линию, другими словами, экспериментальные данные будут образовывать некоторую кривую, имеющую больший или меньший "разброс" значений. При значительном разбросе значений принято говорить, что кривая имеет "выпадающие точки". Повторение процесса в тех же условиях даст близкие результаты, но другие.

Для характеристики непрерывной случайной величины обычно употребляют производную функции распределения - плотность распределения вероятностей (плотность вероятностей) случайной величины X:

(7)

Плотность распределения вероятностей случайной величины является неотрицательной функцией. Площадь, заключённая под кривой плотности вероятностей равна единице. Площадь, заштрихованная на графике плотности распределения случайной величины, равна вероятности того, что случайная величина X примет значения из интервала x₁-x₂:

(8)

Общая площадь под кривой равна единице:

(9)

Это означает, что случайная величина, имеющая плотность распределения p(x), примет то или иное значение в интервале ; это достоверное событие.

Рассмотрим для примера плотность распределения частиц цементного раствора по радиусам (рис. в конспекте лекции). Площадь каждого столбика соответствует массовой доле частиц цементного раствора с радиусом от r_i до r_i+1.

Плотность распределения вероятностей можно применить и для характеристики дискретной случайной величины. В этом случае её достаточно часто изображают в виде гистограммы (от греч. ιδτοζ - мачта и γραμμα - буква, изображение, образ, рисунок, надпись). Гистограмма или столбчатая диаграмма - одна из форм графического представления эмпирического распределения, при котором на оси абсцисс откладывают значения результатов наблюдений, разделённые на k (обычно) равных интервалов, а над каждым интервалом строятся столбики, высота которых H_i пропорциональна частотам h_i=n_i/n_о появления наблюдаемого признака, попавших в интервал [x_i-1, x_i].

На лекции рассмотрены гистограммы распределения вероятностей выпадения "гербов" при различном задаваемом числе бросаний. Высота каждого столбика равна вероятности выпадения задаваемого числа "гербов" из n_о бросаний. Например, вероятность выпадения трёх гербов при пяти бросаниях равна 0,3125, при десяти бросаниях 0,1172, а вероятность того, что при тридцати бросаниях выпадет три герба и, соответственно, 27 "решек" меньше 0,0003, т.е. это практически невозможное событие; наиболее вероятно в последнем случае выпадение 15 гербов и 15 "решек",- вероятность такого результата P=0,1445. Если мы попытаемся сравнить плотности вероятностей результата бросания игральной кости и положения стрелки часов в произвольные моменты времени (см. лекционные примеры), то обнаружим их идентичность, - каждое из них представляет собой равновероятное событие. Такие распределения называются равномерными. Вернёмся к игральной кости. Достаточно вместо одной игральной кости взять две и результаты существенно изменятся (рис. на лекции). Наиболее вероятным событием (P=0,1667), будет семь - такая сумма будет являться результатом шести равновозможных исходов бросаний. Не лишнее напомнить, что при бросании двух игральных костей возможны 36 исходов и, что самое интересное, все исходы равновероятны. Что же касается суммы очков на гранях, то для неё характерна зависимость напоминающая колокол (возможно это и явилось причиной распространения игр с двумя костями - успех в большей степени зависит от искусства игрока и в меньшей от случайности). Давайте для полноты картины рассмотрим гипотетическую игру с тремя костями. При бросании трёх игральных костей возможны 6³=216 исходов, т.е. 216 сочетаний граней с очками от 1 до 6. Естественно, что, как в классической игре с двумя костями, вероятности всех двухсот шестнадцати исходов одинаковы. Распределение суммы очков (минимум 3, максимум 18) по частоте выпадания имеет колоколообразный вид (см. лекцию). Так, 3 очка может выпасть только в одном сочетании, 4 очка в трёх, 5 очков в шести сочетаниях и т.д. Максимальна вероятность выпадения 10 или 11 очков, - такая сумма выпадает в результате двадцати семи равновозможных исходов. Очевидно, что гистограмма распределения суммы очков удивительно похожа на гистограмму распределения вероятностей гербов, а по форме обе похожи на колокол (следует заметить, что несмотря на внешнюю похожесть, с точки зрения теории вероятностей, это разные распределения. Но и колокола бывают разные...).