1.5. Дифференцирование и интегрирование случайного процесса

Понятие дифференцируемости и интегрируемости связано с непрерывностью функции. Для детерминированных функций функция непрерывна в точке , если существует предел . Однако такой критерий непрерывности для случайного процесса непригоден, так как возможна не одна реализация, а целое множество реализаций для любого .

Случайный процесс называется непрерывным в точке , если при любом можно найти такое , что

или

. (1.28)

Случайный процесс , непрерывный во всех точках , где - область, в которой существует случайный процесс, называется непрерывным в области .

Рассмотрим, как влияет понятие непрерывности на математическое ожидание и ковариационную функцию.

.

Как видно, из этого равенства и определения непрерывности, следует непрерывность центрированного случайного процесса и непрерывность математического ожидания.

Положим, - непрерывный случайный процесс и рассмотрим разность

Но ,

.

При уменьшении в подкоренных выражениях значения корней стремятся к нулю. То есть из непрерывности случайного процесса в точке следует непрерывность ковариационной функции . Верно и обратное утверждение: из непрерывности ковариационной функции следует непрерывность случайного процесса .

Дифференцирование случайного процесса. Случайный процесс дифференцируем в точке в среднеквадратическом смысле, если существует такая случайная функция - производная в среднеквадратическом процесса в точке , что

, . (1.29)

Как видно из этой формулы, для существования производной в точке требуется непрерывность случайного процесса в точке .

Из дифференцируемости в среднеквадратическом следует дифференцируемость по вероятности

, (1.30)

Математическое ожидание случайного процесса равно

. (1.31)

Если процесс - стационарный, то .

Корреляционная функция производной:

,

где .

Для анализа вычислим и произведем разложение её в ряд Тейлора, ограничившись вторыми производными.

Из этих выражений получим

. (1.32)

Таким образом, условием дифференцируемости случайного процесса является существование и непрерывность второй смешанной производной случайного процесса. Для стационарного случайного процесса можно получить

.

Интегрирование случайного процесса. Положим, случайный процесс задан в области . Разобьем эту область на интервалы точками и рассмотрим сумму

,

где - некоторая известная весовая функция. В частности, можно потребовать и .

Положим также, что существует некоторый случайный процесс . Случайный процесс будет интегрируемым в среднеквадратическом смысле, если существует случайный процесс такой, что

.

(l.i.m. – limit in the mean – предел в среднем)

Случайный процесс будет называться интегралом от случайного процесса с весовой функцией и обозначаться как

.

Например, в качестве весовой функции в интеграле Дюамеля имеем импульсную характеристику .

Математическое ожидание и корреляционная функция процесса будет иметь вид:

, (1.34)

(1.35)