Тема 21. Дуализм свойств микрочастиц. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Согласно Л. де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ:

,

где с = 3∙10⁸ м/с - скорость света. Любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной волны λ = h/p. Для частиц, имеющих массу:

.

Проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов является соотношение неопределенностей Гейзенберга:

где величина Δx - неопределенностью измерения координаты. В то же время точность определения x – составляющей импульса Δp_x. Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством применяемых приборов для одновременного измерения координаты и импульса микрочастицы.

Пример 21.1.Неопределенность в определении местоположения частицы, движущейся вдоль оси x, равна длине волны де Бройля для этой частицы. Относительная неопределенность ее скорости не меньше _____ %.

Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса ≥ h/2π следует, что Δx·m·Δυ_x ≥ h/2π.  Здесь Δx – неопределенность координаты, ·Δp_x – неопределенность x-компоненты импульса, Δυ_x – неопределенность x-компоненты скорости, m – масса частицы; h – постоянная Планка.

Из условия, что Δx = λ, где λ – длина волны де Бройля, равная . Подставляя выражение в соотношение неопределенностей, получаем: , следовательно .

Пример 21.2.Отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и α-частицы на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью, равно …

Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса Δx·Δp_x ≥ h/2π следует, что Δx·m·Δυ_x ≥ h/2π.  Здесь Δx – неопределенность координаты, ·Δp_x – неопределенность x-компоненты импульса, Δυ_x – неопределенность x-компоненты скорости, m – масса частицы; h – постоянная Планка.

Неопределенность x-компоненты скорости можно найти из соотношения  . Поскольку соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью Δx_n = Δx_α , массы определяются, как  m_α = 2m_p + 2m_n = 4m_n , то искомое отношение равно:  .

Пример 21.3.Если протон и дейтрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов, то отношение их длин волн де Бройля равно …

Решение: Дейтрон – ядро тяжелого изотопа водорода (дейтерия). Длина волны де Бройля определяется по формуле  , где p – импульс частицы. Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию:  .

По теореме о кинетической энергии, согласно которой работа сил электрического поля идет на приращение кинетической энергии,  . Пусть первоначально частица покоилась, тогда:  . 

Длины волны де Бройля через ускоряющую разность потенциалов имеет вид   Учитывая, что массы протона и дейтрона соотносятся как: m_d/m_p = 2, а заряд одинаковый q_d = q_p, то отношение длин волн де Бройля протона и дейтрона равно:  .

Пример 21.4.Положение пылинки массой m = 10^-9 кг можно установить с неопределенностью Δx = 0.1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка h = 6.626·10^-34 Дж·с, неопределенность скорости  Δυ_x (в м/с) будет не менее …

Решение: Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для координаты и соответствующей компоненты импульса Δx·Δp_x ≥ h/2π следует, что Δx·m·Δυ_x ≥ h/2π.  Здесь Δx – неопределенность координаты, ·Δp_x – неопределенность x-компоненты импульса, Δυ_x – неопределенность x-компоненты скорости, m – масса частицы; h – постоянная Планка.

Неопределенность x-компоненты скорости пылинки можно найти из соотношения  .

Пример 21.5.Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии, равном 10^-3 c. Учитывая, что постоянная Планка h = 6.626·10^-34 Дж·с, ширина метастабильного уровня будет не менее …

Решение: Соотношение неопределенностей для энергии и времени имеет вид ΔE·Δt ≥ h/2π, где ΔE неопределенность в задании энергии (ширина энергетического уровня), Δt время жизни частицы в данном состоянии. Тогда