Тема 20. Спектр атома водорода. Правило отбора

Исходя из постулатов Н. Бора:

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): атомная система может находится только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия E_n. В стационарных состояниях атом не излучает.

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния с энергией E_n в другое стационарное состояние с энергией E_m излучается или поглощается квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний:

hν_nm = E_n – E_m

где h – постоянная Планка. Отсюда можно выразить частоту излучения:

ν_nm = (E_n – E_m)/h

В видимой области излучения атома водорода наблюдаются дискретные спектральные линии (так называемый линейчатый спектр). Закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра описываются формулой Ридберга:

_{где n и m – числа, характеризующие состояние электрона с энергией En и Em, соответственно. R = 3,291015 Гц – постоянная Ридберга.}

С ерия Лаймана -  m = 1, n = 2, 3, 4, ... (ультрафиолетовая часть спектра)

Серия Бальмера -  m = 2, n = 3, 4, 5, ... .(видимая часть спектра)

Серия Пашена -  m = 3, n = 4, 5, 6, ... (инфракрасная часть спектра)

Согласно принципу Паули: 1) системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями; 2) В системе одинаковых фермионов любые два из них не могут находиться в одном и том же состоянии.

Полное состояние электрона в атоме характеризуется квантовыми числами: главным, орбитальным, магнитным и магнитным спиновым:

Главное квантовое число (n = 1, 2, 3…) определяет энергетические уровни электрона в атоме: .

Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона: , где l = 0, 1, …, (n-1),– орбитальное квантовое число, определяет момент импульса электрона в атоме.

Вектор момента импульса электрона (L_l )может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения: , где m_l = 0, ±1,  ±1,…, ±l, - магнитное квантовое число, определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление.

Собственный механический момент импульса электрона (спин) L_s: ,где s – спиновое квантовое число (s = 1/2).

П ример 20.1.На рисунке схематически изображены стационарные орбиты электрона в атоме водорода согласно модели Бора, а также показаны переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой – серию Бальмера, в инфракрасной – серию Пашена. Наибольшей частоте кванта в серии Пашена (для переходов, представленных на рисунке) соответствует переход …

Решение: Серию Пашена дают переходы на третий энергетический уровень m = 3, при этом энергия испускаемого кванта, следовательно, и его частота зависят от разности энергий электрона в начальном n и конечном m состояниях: . Поэтому наибольшей частоте кванта в серии Пашена (для переходов, представленных на рисунке) соответствует переход n = 5 → m = 3.

Пример 20.1.На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условно изображены переходы электрона с одного уровня на другой, сопровождающиеся излучением кванта энергии. В ультрафиолетовой области спектра эти переходы дают серию Лаймана, в видимой области – серию Бальмера, в инфракрасной области – серию Пашена и т.д. Отношение минимальной частоты линии в серии Бальмера ν_{min Б} к максимальной частоте линии в серии Лаймана ν_{min Л} спектра атома водорода равно …

Решение: Энергия испускаемого кванта, следовательно, и его частота зависят от разности энергий электрона в начальном n и конечном m состояниях: . Серию Лаймана дают переходы на первый энергетический уровень m = 1, серию Бальмера – на второй уровень m = 2. Максимальная частота линии в серии Лаймана будет наблюдаться при переходе с максимально возможного уровня n = ∞:   . Минимальная частота линии в серии Бальмера наблюдается при переходе электрона с третьего уровня n = 3: . Тогда  .

Пример 20.2.Главное квантовое число n определяет …

Решение: энергию стационарного состояния электрона в атоме , где Z – заряд ядра, m – масса электрона, e –заряд электрона, h – постоянная Планка, ε₀ – диэлектрическая  проницаемость.

Пример 20.3.Собственные функции электрона в атоме водорода Ψnim(r,θ,φ) содержат три целочисленных параметра: n, l и m. Параметр n называется главным квантовым числом, параметры l и m – орбитальным (азимутальным) и магнитным квантовыми числами соответственно. Орбитальное квантовое число l определяет …

Решение: Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, принимает дискретные значения: , где l = 0, 1, …, (n-1),– орбитальное квантовое число, определяет модуль момента импульса электрона в атоме.

П ример 20.4.Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса    электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора  . Минимальное значение главного квантового числа n для указанного состояния равно …

Решение: Магнитное квантовое число m определяет проекцию вектора   орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля: L_ez = mħ, где m= 0, ± 1, ± 2,…, ± l (всего 2l + 1 значений). В свою очередь орбитальное квантовое число l может принимать следующие значения l = 0, 1,…, (n - 1). Следовательно, для указанного состояния l = 2  минимальное значение главного квантового числа n равно 3.