Тема 1. Кинематика поступательного и вращательного движения §1.1. Кинематика поступательного движения

В кинематике рассматриваются законы изменения перемещения, скорости и ускорения движущегося тела. Для описания поступательного движения используются линейные вектора Положение точки относительно системы координат задается радиус-вектором или координатами.

Например, тело находится в точке А(x₁, y₁, z₁), ее положение определяется радиус-вектором , где i, j, k –единичные вектора, направленные вдоль координатных осей x,y,z.Пусть тело перемещается в точку В(x₂, y₂, z₂), .

Тогда вектор перемещения: .

Еще вспомним о свойствах векторов:

1. длина вектора равна корню из суммы квадратов его проекций на координатные оси, например: .

2. скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат:

.

3. сложение и вычитание векторов:

Скорость движения – перемещение тела за единицу времени, равно первой производной перемещения по времени:

; .

Соответственно, перемещение – интеграл скорости по времени:

,

интеграл равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. При решении задач часто предлагается именно этот качественный метод решения, в котором рассматривается дифференциально интегральная взаимосвязь.

Ускорение движения – изменение скорости за единицу времени, равно первой производной скорости по времени:

; .

Соответственно, изменение скорости – интеграл скорости по времени:

,

интеграл равен площади фигуры под графиком зависимости ускорения от времени.

Напомним формулы:

1. п лощадь прямоугольного треугольника - половина произведения катетов (s=(a∙b)/2);

2. площадь трапеции – произведение высоты на полусумму оснований (s=h∙(a+b)/2).

П ример 1.1.На графике изображена линейная зависимость скорости от времени. Определите: ускорение движение;закон скорости;перемещение от 2 до 3 секунды.

Решение: на графике изображена линейная зависимость скорости от времени (это случай равноускоренного движения), следовательно, ускорение и уравнение движения:

,

; t=6c; v=4м/с

; =1+0,5t.

Перемещение найдем по площади фигуры под графиком скорости – это трапеция .

Вспомним законы движения в случаях прямолинейного движения: направлены по касательной к траектории (ускорение при ускоренном движении совпадает по направлению со скоростью, а при замедленном - противоположно).

а) равномерное прямолинейное движение

; ; ;

б) равноускоренное прямолинейное движение

; ; .

При криволинейном поступательном движенииперемещение и скорость направлены по касательной к траектории, а ускорение направлено внутрь кривизны траектории. Направление ускорения точки при движении по окружности: 2 – при ускоренном движении; 3 – при равномерном движении; 4 - при замедленном движении.При таком движении изменяется величина и направление скорости, поэтому используют разложение ускорения на две составляющие: .

Т ангенциальное ускорение отвечает за изменение величины скорости( , равно первой производной величины скорости по времени, направлено по касательной к траектории.

Нормальное (центростремительное) ускорение отвечает за изменение направления скорости, равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории ( , направлено вдоль радиуса к центру кривизны траектории.

П ример 1.2.Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью v₀ без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении …

Решение: мгновенная линейная скорость всегда направлена по касательной к траектории, точка А движется с ободом колеса вниз, значит ее скорость направлена вдоль вектора (3).

Пример 1.3.Материальные точки движутся по окружности. На рисунке показаны графики проекций скорости от времени (v_). Какими будут величины для нормального и тангенциального ускорения?

Р ешение:все точки движутся по окружности, значит, во всех случаях нормальное ускорение не равно нулю .

1. точка (1) движется равномерно, значит, .

2. Точка (2) движется равноускоренно, значит, .

3. Точка (3) движется равнозамедленно, значит, .

П ример 1.4. Точка движется по спирали с постоянной по величине скоростью. Как при этом изменяется величина нормального ускорения?Р ешение: нормальное ускорение определяется по формуле , следовательно, если величина скорости постоянна, а радиус кривизны увеличивается, нормальная составляющая ускорения уменьшается. (Если точка движется в обратном направлении, т.е. радиус уменьшается – ускорение будет увеличиваться).

Пример 1.5. Материальная точка М движется по окружности со скоростью V. На рис.1 показан график зависимости тангенциальной составляющей скорости V_от времени. На рис. 2 укажите направление ускорения точки в момент времени t₁.

Решение: при криволинейном движении ускорение всегда направлено внутрь кривизны траектории. Направление (2) соответствует ускоренному движению, направление (4) – замедленному, а направление (3) – равномерному вращению. В момент времени t₁ скорость увеличивается – это ускоренное движение. Ответ: направление 4.