§14.3. Сложение свободных гармонических колебаний

Сложение гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

Тогда уравнение результирующего колебания будет иметь вид

Амплитуда результирующего колебания

Начальная фаза суммарного колебания

Пример 14.10.Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами А₀. Установите соответствие между разностью фаз складываемых колебаний и амплитудой результирующего колебания.

А)/3 В)  С) 0

А₀2032А₀1А₀3

Решение: амплитуда результирующего колебания двух гармонических колебаний одного направления с равными амплитудами А₀ рассчитывается по формуле

При разности фаз

1) , , тогда ;

2) , , тогда ;

3) , , тогда .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой

При сложении гармонических колебаний одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y, для простоты полагают начальную фазу первого колебания φ₁=0. Тогда

где α — разность фаз обоих колебаний, А и В ― амплитуды складываемых колебаний.

После преобразований получается уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α.

Некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) α=mπ (m=0, ±1, ±2, …). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой: , где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m, а знак минус — нечетным значениям m.

2) α=(2m+1)π/2 (m=0, ±1, ±2, …). В данном случае уравнение примет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам. ЕслиА=В, то эллипс вырождается в окружность.

Пример 14.11. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания. Установите соответствие между номером соответствующей траектории и законами колебаний точки вдоль осей координат.

А) B)

C) D)

1)A 2)B

3)C 4)D

5)

Решение: при одинаковой частоте складываемых колебаний уравнение траектории точки имеет вид: Это уравнение эллипса, где α — разность фаз колебаний. Если α=mπ (m=0, ±1, ±2, …), эллипс вырождается в отрезок прямой где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m, а знак минус — нечетным значениям m. Согласно условию задания, в ответах №2 и №4 α = 0 (четное значениеm). Причем в ответе №2 амплитуды различны, что удовлетворяет форме фигуры В (диагональ прямоугольника).В ответе №4 амплитуды обоих колебаний совпадают, что удовлетворяет форме фигуры D (диагональ квадрата). Если разность фаз α=(2m+1)π/2 (m=0, ±1, ±2, …), уравнение принимает вид: .

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам. В ответе №1 α = π/2, а амплитуды исходных колебаний различны, что удовлетворяет форме фигуры А(эллипс). Если амплитуды исходных колебаний одинаковы, то эллипс вырождается в окружность.

В ответе №3 α = 3π/2 и амплитуды совпадают, что удовлетворяет форме фигурыС (окружность).

Пример 14.12. С опротивление, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно и включены в цепь переменного тока, изменяющегося по закону . На рисунке представлена фазовая диаграмма падений напряжения на указанных элементах. Амплитудные значения напряжений соответственно равны: на сопротивлении ; на катушке индуктивности ; на конденсаторе .

Установите соответствие между сопротивлением и его численным значением

А. Активное сопротивление

В ) Реактивное сопротивление

С) Полное сопротивление

А40 Ом В30 Ом

С50 Ом 20 Ом

Решение: Используем метод векторных диаграмм. Длина вектора равна амплитудному значению напряжения, а угол, который вектор составляет с осью ОХ, равен  разности фаз колебаний напряжения на соответствующем элементе и колебаний силы тока в цепи. Сложив три вектора, найдем амплитудное значение полного напряжения: . Величина . Полное сопротивление контура найдем по закону Ома: , где ― амплитудные значения напряжения и силы тока. Амплитудное значение силы тока, как это следует из закона его изменения, равно 0,1 А. Тогда полное сопротивление . Активное сопротивление . Полное сопротивление цепи равно: , где ― реактивное сопротивление; — индуктивное и емкостное сопротивления соответственно. Отсюда реактивное сопротивление .