§3. Методы оптимального решения транспортной задачи.

После определения первого невырожденного одним из рассматриваемых выше трёх способов, приступаем к написанию оптимального решения транспортной задачи, то есть к минимизации целевой функции.

Методы решения транспортных задач:

• Метод потенциалов

• Распределительный метод

• Венгерский метод

Теорема 3 (метод потенциалов). Для того чтобы транспортная задача имела оптимальное решение с системой m + n чисел и , называемых потенциалами, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись 2 условия:

1-ое условие: ; ,

то есть для заданных перевозчиками грузов клеток транспортной таблицы.

2-ое условие: ; ,

то есть для незанятых клеток таблицы.

Потенциалы и являются переменными двойственной транспортной задачи и означают плату за перевозку единицы груза в пунктах отправления поставщиками и в пунктах получения потребителя соответственно, то есть их сумма равна транспортному тарифу стоимости перевозки единицы груза от i-го поставщика к k-ому потребителю.

При определении оценок для не занятых перевозками клеток транспортной таблицы условие 2 теоремы №3 запишется в виде:

является условиями оптимальности опорного плана транспортной задачи, но если (1) не выполняется ( ), то решение задачи не является оптимальным.

Для его определения находят новый опорный план, перераспределяя соответствующий груз в незанятую с отрицательной оценкой.

§4. Открытые модели транспортных задач

Открытой моделью транспортной задачи является такая модель, в которой определяется минимальная стоимость перевозки груза при нарушении баланса между объёмом запасов товаров у поставщиков и заявок у потребителей, то есть при условии

(1)

Такие задачи рассматриваются приведением их к закрытым моделям. Для нашего условия (1) возможны 2 способа:

1-ый способ – суммарный объём запасов превышает суммарные потребности

(2)

В этом случае вводится дополнительный фиктивный потребитель, заявки которого составляют:

(3)

2-ой способ – суммарные потребности превышают суммарные запасы

(4)

Тогда фиктивный поставщик должен иметь запасы, величина которых составляет:

(5)

Тарифы перевозок в этих случаях принимаются равными нулю. Введение фиктивных поставщиков и потребителей в открытые модели транспортных задач приводят к закрытым.

§5. Распределительный метод решения транспортных задач

Этот метод решения транспортной задачи основан на способе уменьшения стоимости перевозки грузов путем циклического перераспределения перевозимых грузов. При переносе какого-либо количества единиц груза по циклу стоимость перевозки груза изменяется (увеличивается или уменьшается)

Ценой цикла называется изменение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по соответствующему маршруту. Цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, расположенных в вершинах цикла для занятой перевозками клетки транспортной таблицы. Обозначим цену для незанятой клетки . Для улучшения опорного вырожденного плана следует перераспределять перевозки по циклам, цены которых отрицательны. Если циклов с отрицательной ценой в транспортной таблице не осталось, то дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план достигнут.

При построении циклов для незанятых клеток таблицы возможны следующие варианты циклов:

а) б) в)

где (i;k) – незанятая клетка таблицы, a,b,c,d,e – клетки таблицы, в которых размещены базисные переменные (занятые клетки).

Для любой незанятой клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, одна из вершин которого лежит в этой незанятой клетке, а все остальные – в базисных (занятых объемами перевозимых грузов).

В транспортной таблице заполненные клетки не должны образовывать циклы.