§2. Линейное программирование
Линейное программирование – это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, которые описываются линейными уравнениями. Причем, линейным уравнением описывается как сама целевая функция, так и переменные (входные параметры).
Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений на ресурсы (сырье, материалы, финансы, спрос).
Еще одним условием решения задачи является выбор критерия – основа алгоритма, т.е. целевая функция должна быть оптимальной, и эта оптимальность должна быть выражена количественно.
Критерий оптимальности дожжен удовлетворять следующим требованиям:
Быть единственным для данной задачи;
Измеряться в единицах количества;
Линейно зависеть от входных параметров.
Стандартная задача линейного программирования – задача, в которой требуется определить максимальное либо минимальное значение целевой функции при ограничениях неравенств и условиях.
Каноническая задача линейного программирования – задача, которая заключается в определении максимального значения целевой функции при выполнении ограничений уравнений.
Сформулируем задачу линейного программирования в общем виде:
Найти экстремум целевой функции:
F(x)
=
) (1)
При ограничениях в виде равенств:
(2)
При ограничениях в виде неравенств:
(3)
При условиях неотрицательности входных параметров:
(4)
В краткой форме задача линейного программирования может быть записана:
(5)
При условии:
при
j=1,2,…,m;
(6)
где
– входные переменные,
– числа
положительные, отрицательные, равные
нулю.
В матричной форме эта задача может быть записана:
Cx → max, при Ax ≤ b или Ax ≥ b, x ≥ 0 (7)
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
A |
b |
c |
|
§3. Графический метод
Данный
метод основан на геометрической
интерпретации задач линейного
программирования и применяется при
решении задач с двумя неизвестными (
),
когда ограничениями являются неравенства.
Порядок решения задачи линейного программирования графическим способом:
На плоскости в координатных осях
строятся прямые, соответствующие
исходным ограничениям – неравенствам.
Указываются полуплоскости, удовлетворяющие каждому ограничению.
Определяется многоугольник решений, указывая координаты вершин на нем, который называется областью допустимых решений (ОДР). Здесь же вычисляются значения целевой функции во всех вершинах многоугольника решений. Выбирая наибольшее и наименьшее значения из вычисленных величин, определяются экстремальные значения целевой функции.
Экстремальные величины можно определить непосредственно построив линии уровня, полагая, что z=0 или принимая значение целевой функции z=const.
Определяется градиент целевой функции (grad Z = (
;
)),
направление которого указывает
возрастание целевой функции и является
перпендикуляром линии уровня. Перемещая
линию уровня
в направлении grad Z до вершины ОДР (точки касания) можно найти максимальное значение целевой функции.
Если перемещать линию уровня в направлении противоположном градиенту Z, то в точке касания с ОДР значение целевой функции соответствует минимальному значению