§4. Элементы теории графов

Теория графов – это раздел математики, включающий в себя систему терминов и обозначений, которые позволяют сравнительно просто описывать сложные процессы и явления.

Задача Эйлера заключается в том, чтобы пройти по семи мостам только один раз и вернуться в исходную часть города. Само название граф предполагает графическую интерпретацию изучаемого явления. Графом G=(X;U) называется совокупность двух множеств непустого множества X вершин и множеств U ребер, т.е.:

G=(X;U)= ,X≠0 U= , k=

Обычно граф изображают диаграммой, вершины – точками либо кружочками, а ребра – линиями. Если ребра графа ориентированы, т.е. показаны стрелкой от вершины к вершине, то они называются дугами, а такой граф называется ориентированным или орграфом (рис1). Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным или неографом (рис.2).

Рис.1 Рис.2

Каждая дуга соединяет две вершины графа, одна из которых является начальной, а другая – конечной и направлена от первой ко второй, дуги можно обозначать следующим образом:

Другим обозначением орграфа является задание множества вершин Х и соответствия Г( . Соответствие Г показывает, как между собой связаны вершины и называются отображением множества ХвХ, а граф обозначается G=(ХГ).

Для орграфа соответствие Г( , т.е. вершины , являются конечными вершинами дуг, у которых начальной вершиной будет

Г =

Г( ) = (

Г( = ø

Г( ) =

В случае неографа предполагается, что соответствие Г задает такой ориентированный граф, который получится из исходного графа заменой каждого ребра двумя противоположного направленными дугами, соединяющими те же вершины.

Например:

Г( )=( )

Так как Г( ) представляет множество вершин , для которых G существует дуга ( ), то через ( ) обозначает множество вершин , для которых в графе существует дуга ( ) и её называют обратным соответствием.

Например: для орграфа G(рисунок 3)

Если отображение Г( ) распространяется не на одну вершину, а множество вершин , а под множеством Г( ) понимают объединение Г( )U Г( )U… U Г( ) для орграфа (рисунок 3) оно будет выглядеть так:

Г({ })= { }, Г({ })={ }

Отображение Г(Г( ))→ ( ), а тройное отображение Г(Г(Г( )))→ ( ) и так далее.

Для нашего орграфа (рисунок 3)

( )= Г(Г( ))= Г({ }={ }

( ) Г( ( ))=Г({ })={ }

С каждой вершиной графа связано два множества:

( )- это множество тех, смежных – вершин, в которых заходят в дуги из .

( )- это множество таких вершин смежных , из которых выходят дуги, заканчивающиеся .

Вершины и называются смежными если существует дуга(ребро) U( ), соединяющая их.

Например ( ), ( ), ( ), вершины ( ) нашего (рисунок 1)орграфа, не являются смежными.

Если вершины и являются концами дуги, то говорят, что эти вершины инцидентны дуге U или дуга U инцидентна вершинам и .

Степенью или валентностью вершины графа называется количество инцидентных ей дуг и обозначается d( )= Г( ).

В нашем примере орграфа (рисунок 1) d( )= 4, d( )=2.

Вершина, степень которой равна нулю называется изолированной.

Число дуг орграфа, который имеет вершину своей начальной вершиной называется полустепенью исхода и обозначается ( ).

Аналогично количество дуг орграфа, который имеет вершину конечной вершины называется полустепенью захода и обозначается .

Например, для нашего рисунка 1

( )=3, ( )=1, ( )=1, ( )=2

Теорема Эйлера

Сумма степеней вершин графа ровна удвоенному количеству дуг или рёбер

Где n- число вершин графа,

m –число дуг.

Следствие №1

Число вершин нечётной степени всегда чётное.

Следствие №2

Сумма полу степеней вершин орграфа равна удвоенному числу дуг

Путем или ориентированным маршрутом орграфа называется последовательность дуг, в котором конечная вершина любой дуги отличной от последней является начальной вершиной следующей. Для нашего примера (рисунок 1) пути из вершины в вершину .

=

Ориентированной цепью (орцепью) или простым путём называется такой путь, в котором каждая вершина графа используется не более одного раза.

Маршрут – это неориентированный « двойник» пути. Это понятие рассматривается в тех случаях, когда можно пренебречь направленностью в орграфе.

Маршрут – это последовательность рёбер , , …, , в котором каждое ребро , за исключением первого и последнего ребра связано с ребрами и своими двумя концевыми вершинами.

Последовательность дуг в орграфе (рисунок 1)

Являются маршрутными.

Черта под дугой указывает исключение ориентации, то есть дуги рассматриваются как рёбра.

Маршруты бывают:

• простые и цепи (ребро в таком маршруте используется только один раз)

• элементарный (простые цепи)- в котором вершины встречаются только один раз.

Маршрут -простой, -цепь, - ни цепь и ни простой

Петлёй называется дуга графа, у которой начальной и конечной точки вершины совпадают (рисунок 1, ).

Путь ,…., называется замкнутым, если в нём конечная вершина дуги совпадает с начальной вершиной дуги .

Замкнутые пути орграфа называются контурами.

Замкнутые маршруты (цепи) в неографах называются циклами.