5.2Генерация m -элементных подмножеств множества натуральных чисел

Число всех m–элементных подмножеств n–элементного множества обозначается как

или

и вычисляется по формуле

Алгоритм нечувствителен к содержимому исходного множества, но для примера будем рассматривать множество из последовательности натуральных чисел, например, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тогда каждому m -элементному подмножеству, например ^{m = 4}, взаимно однозначно соответствует возрастающая последовательность длины m, например, 1, 2, 4, 6.

Представим очередность получения подмножеств в следующем виде:

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6

1 2 4 5

1 2 4 6

1 2 5 6

1 3 4 5

1 3 4 6

1 3 5 6

1 4 5 6

2 3 4 5

2 3 4 6

2 3 5 6

2 4 5 6

3 4 5 6

Пусть очередная последовательность располагается в массиве B[1..4]. Из приведенного примера можно вывести закономерность, согласно которой каждая следующая последовательность отличается от предыдущей последовательности. Для этого рассмотрим несколько пар последовательностей.

Рассмотрим следующую пару последовательностей:

1 2 3 4

1 2 3 5

Видно, что новая последовательность получена из старой последовательности, где для i=13 выполняется условие b'ⁱ = bⁱ и b'⁴=b⁴+1

b'¹, b'², b'³, b'⁴ = b¹, b², b³, b⁴+1

Теперь рассмотрим пару последовательностей:

1 2 4 6

1 2 5 6

Видно, что новая последовательность получена из старой последовательности, где для i=12 выполняется условие b'ⁱ = bⁱ и b'³=b³+1, b'⁴=b³+2.

b'¹, b'², b'³, b'⁴ = b¹, b², b³+1, b³+2

И, наконец, рассмотрим пару последовательностей:

1 2 5 6

1 3 4 5

Видно, что новая последовательность получена из старой последова­тельности, где выполняется условие b'¹ = b¹, b'²=b²+1, b'³=b²+2, b'⁴=b²+3.

b'¹, b'², b'³, b'⁴ = b¹, b²+1, b²+1, b³+2

В общем случае, последовательность b'¹, b'², …, b'^m, следующая непосредственно за последовательностью b¹, b², …, b^m определяется следующим образом

b'¹, b'², …, b'^{m( = (b1, …, bq-1, bq+1, bq+2, …, bq+m-q+1(}

^где

^{q = m, если bm < n}

^{q = p - 1, если bm = n, где p = max{i: bi < n – m + 1}}

^{Ниже приводится текст программы, составленный на основе приведенных выше замечаний.}

^{program M_SubSetN;}

^{{Генерирует все M-элементные подмножества множества 1, 2, 3, ..., N-1, N}}

^{uses crt;}

^{const N = 6;}

Var m: integer; {Размер подмножества}

^{B: array [1..N] of integer;}

^{procedure M_SubSet (M: integer);}

Var I, j, p: integer;

^begin

^{for J := 1 to M do B[J] := J; {первое подмножество}}

^{P := M;}

^{while P >= 1 do}

^begin

^{Write (' ');}

^{for J := 1 to M do Write (' ', B[J]); {Вывод подмножества}}

^Writeln;

^{if A[M] = N then}

^{P := P - 1}

^else

^{P := M;}

^{if P >= 1 then}

^{for I := M downto P do}

^{B[I] := B[P] + I - P + 1;}

^end;

^{end; {M_SubSet}}

^begin

^Clrscr;

^{Writeln('Введите размер подмножества -> ', M);}

^M_SubSet(M);

^end.

5.3Генрация k-компонентных выборок на множестве {0, 1}

^{Можно предложить и другой способ генерации всех k–компонентных подмножеств некоторого множества из N элементов. Для этого можно создать N -элементный массив-маску GB[1..N]. Элементы этого массива определяются на множестве {0, 1}. Набор нулей или единиц может выступать маской исходного множества. Тогда задача генерации всех k–компонентных подмножеств некоторого множества сводится к генерации всех возможных перестановок элементов массива GB, содержащего k единиц или m=N-k нулей. Каждая такая перестановка выступает в виде отдельного кортежа.}

Представим очередность получения кортежей в следующем виде:

Таблица 4.1

№	Кортеж	p	z
	0 0 1 1 1	3	0
	0 1 0 1 1	2	0
	0 1 1 0 1	1	0
	0 1 1 1 0	0	1
	1 0 0 1 1	2	0
	1 0 1 0 1	1	0
	1 0 1 1 0	0	1
	1 1 0 0 1	1	0
	1 1 0 1 0	1	1
	1 1 1 0 0	3	2

^{Эти кортежи расположены в лексикографическом порядке. Каждый очередной кортеж может быть представлен в таком виде:}

^{N – p – z - 1 произвольных разрядов; нуль; p единиц; z нулей.}

^{А каждый следующий кортеж преобразуется к кортежу вида:}

^{N – p – z - 1 произвольных разрядов; единица; z+1 нулей; p-1 единиц.}

^{Для генерации очередного кортежа необходимо выполнить анализ текущего кортежа слева направо. Анализ проводится до появления первого 0 после первой группы 1. Одновременно подсчитываются размеры встретившейся группы 0 и группы 1. Найденный в результате анализа 0 заменяется на 1, после чего справа от этой 1 записывается соответствующая группа 0 и группа 1. Ниже приводится текст программы, выполняющей генерацию таких кортежей.}

^{program SubSetMN_01;}

^{{Программа поочередно генерирует все N-компонентные выборки на множестве /0, 1/ из некоторой N-компонентной выборки с заданным количеством нулей M, например 01010, т.е. перебирает все возможные перестановки этой выборки 00110, 10001 и т.д. Если исходная выборка содержит M нулей, то из нее можно построить C(N,M) различных упорядочений с M нулями. В исходном состоянии массив GB заполняется нулями. После каждого вызова процедуры SubSet выводится очередная выборка. Признак Finish служит для предотвращения возможной повторяемости выборок}}

^{uses crt;}

^{const N = 5;}

^{type Arr = array [1..N] of integer;}