Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

 

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку она всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные решения.

Теорема 1. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: r(A)=r<n.

Справедливо следующее утверждение: линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.

Максимальная линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений содержит (n-r) векторов. Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений нужно:

1) r базисных переменных выразить через свободные переменные;

2) выбрать линейно независимую систему (n-r) векторов (n-r)-мерного пространства (например, это могут быть единичные векторы);

3) поочередно заменить свободные переменные координатами векторов выбранной системы и вычислить значения базисных переменных.

Полученные решения  , , …,  образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

,

где   - произвольные числа.

Билет 13

МНОГОЧЛЕН

МНОГОЧЛЕН (полином), сумма одночленов, которые являются произведениями, состоящими из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята с тем или иным показателем степени. В общем виде, многочлен имеет форму P_n(x)=а_nхⁿ+a_n-1x^n-1+а_n-2х^n-2+....+а₂х²+a₁х+а₀, где а₀....а_n-1, а_n - КОЭФФИЦИЕНТЫ многочлена. Степенью многочлена является самый высокий показатель степени в этой сумме с ненулевым коэффициентом. Например, Р₄(х)=2x⁴-3x³+x²+х+5 является многочленом со степенью четыре. В этом примере значения многочлена при х=0; 1 и 2 равны Р₄(0)=5, Р₄(1)=6, Р₄(2)=19 соответственно. Многочлен может быть представлен графически, путем отметки значения у=Р_n(х) на графике в соответствии со значениями х.

Арифметические операции над многочленами

 

Суммой многочленов 

P(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an,

Q(x)=b0xm+b1xm−1+...+bm−1x+bm

называется многочлен S(x), коэффициенты которого при каждой степени x равны сумме коэффициентов при этой степени x многочленов P(x) и Q(x). О многочлене S(x) говорят, что он получен в результате сложения многочленов P(x) и Q(x), и пишут S(x)=P(x)+Q(x). Произведением многочленов 

P(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an,

Q(x)=b0xm+b1xm−1+...+bm−1x+bm

называется многочлен M(x) степени n+m, коэффициенты которого c0,c1,...,cn+m вычисляются по формулам 

 c0=a0b0,  c1=a1b0+a0b1,  ...  ck=akb0+ak−1b1+...+a1bk−1+a0bk,  cn+m=anbm,    

т.е. коэффициент ci есть сумма произведений коэффициентов al и bk многочленов P(x) и Q(x) таких, что сумма их индексов равна i=l+k. О многочлене M(x) говорят, что он получен в результате умножения многочлена P(x) на многочлен Q(x), и пишут M(x)=P(x)Q(x). Операции сложения и умножения многочленов ассоциативны, коммутативны и связаны между собой законом дистрибутивности.

Противоположным для многочлена 

P(x)=a0xn+a1xn−1+...+an−1x+an

называется многочлен

−a0xn−a1xn−1−...−an−1x−an 

Многочлен, противоположный многочлену P(x), обозначают −P(x) . Сумма многочлена P(x) и противоположного ему многочлена −P(x)  равна нулю: P(x)+(−P(x))=0  Разностью многочленов P(x) и Q(x) называется многочлен L(x), являющийся суммой многочлена P(x)и многочлена, противоположного многочлену Q(x):

L(x)=P(x)+(−Q(x)) 

О многочлене L(x) говорят, что он получен в результате вычитания многочлена Q(x) из многочлена P(x), и пишут L(x)=P(x)−Q(x) . Сумма, произведение и разность любых двух многочленов - тоже многочлены.