Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
алгем_экз.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
548.32 Кб
Скачать

Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена   на двучлен   равен  .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Доказательство

Поделим с остатком многочлен   на многочлен  :

Так как  , то   — многочлен степени не выше 0. Подставляя  , поскольку  , имеем  .

Следствия

  • Число a является корнем многочлена   тогда и только тогда, когда   делится без остатка на двучлен   (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена   тождественно множеству корней соответствующего уравнения  ).

  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

  • Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

Кратные корни

  • Определение. Число   называется корнем полинома  , если  .

  • В силу теоремы Безу это равносильно тому, что  .

  • Определение. Число   называется корнем кратности   полинома  , если   и  . Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности больше 1 называются кратными корнями.

  • Теорема. Если   — корень кратности   полинома  , то   — корень кратности   полинома  . Если   — общий корень  , то  — кратный корень  .

  • Доказательство. Пусть   — корень кратности   полинома  .

  • 1. Если  , то   — корень кратности   многочлена  .

  • 2. Если   корень  , то   и, значит,   — кратный корень многочлена  .

Теорема Виета

  •  

  • Как связаны между собой корни квадратного трехчлена x2 + px + q и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя “отца алгебры”, французского математика Ф. Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема.

Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.

Доказательство. Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:

x1 + x2 = –p

x1 x2 = q

Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:

x12 + px1 + q = 0

x22 + px2 + q = 0

Вычтем эти равенства друг из друга. Получим

x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2   0 и мы можем сократить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы:

x1 + x2 = –p

Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p,равное ему число – (x1 + x2):

x12 – (x1 + x2x1 + q = 0

Преобразуя левую часть, получаем:

x12 – x12 – xx1 + q = 0

x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

Комментарий. Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x1 + x2 и x1 x2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x2 – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2   3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями. Эту догадку можно аккуратно доказать.

Теорема. Если числа x1 и x2 удовлетворяют соотношениям x1 + x2 = –p и x1 x2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x2 + px q = 0.

Доказательство. Из первого из данных равенств выразим x2 и подставим во второе: x2 = –p – x1x1   x2 = x1   (–p – x1) = q. Получаем –x12 – px1 = q или x12 + px1 + q = 0. Это означает, что число x1 является корнем квадратного уравнения x2 + px q = 0. Если бы наоборот мы выразили x1 через x2, то получили бы и для x2 аналогичное соотношение:x22 + px2 + q = 0. Теорема доказана.

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Формулировка

Если   — корни многочлена

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты   выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря   равно сумме всех возможных произведений из   корней.

Если старший коэффициент многочлена  , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на   (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

[править]Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях   (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Билет 16

Алгоритм Евклида для целых чисел

Пусть   и   — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое   — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель   и  , равен  , последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких  , то есть возможность деления с остатком   на   для любого целого   и целого  , доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

Пусть  , тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).

Доказательство  [показать]

НОД(0, ) =   для любого ненулевого   (т.к. 0 делится на любое целое число, кроме нуля).

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа   и   и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.