39.Признак полного диф-ала.
Для
того чтобы выражение p(X;y)*dx+Q(x;y)*dy
являлось полным диф-лом нек.ф. необходимо
чтобы тождественно выполнялось след
условие
(х,у G)
P=z’x; Q=z’y
∂P/∂y=z’’xy ; ∂Q/∂x=z’’yx
40. Экстремумы функций двух переменных.
Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если для любой точки M (x,y), находящейся в некоторой p-окрестности точки M0(x0,y0), выполняется условие f(x0,y0)>f(x,y) Ф.z(x;y)имеет мин.в т М0 если для точек,принадлеж.нек.окрестности М0 и отличных от неё выполняется условие f(x0,y0)<f(x,y)
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.
41. Необходимые условия экстремума. Если z=f(x,y) – дифференцируемая функция и достигает в точке M0(x0,y0) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:
∂z(M0)/ ∂x=0 , ∂z(M0)/ ∂y=0.
Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными.
42. Достаточное условие существования экстремума.
Пусть в нек. Области G содержащей т.М0 ф Z имеет непрерывные част. Произв. до 3его порядка включительно.
M0(x0,y0) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M0(x0,y0):
∂2z(M0)/ ∂x2=A; ∂2z(M0)/ ∂x∂y=B; ∂2z(M0)/ ∂y2=C;
а затем дискриминант ∆=AC-B2. Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M0(x0,y0)-
1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;
2) ∆<0 – экстремума нет;
3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.
43. Условный экстремум
1) Усл-ый экстремум (метод множ-ей Лагранжа):Составляем ф-ию Лагранжа:
1)F(x;y;λ)= z(x,y+λ)* φ(x,y) –получаем ф. 3х переменных
2)Вычисляем 1ые частн.произв.
3)приравнивая их к 0 составляем сис-м уравнений
4)решаем сис-му,находим крит точки
5)находим 2ые ч.произв
44.Понятие первообразной
F(x)первообразная от f(x) на нек. множестве Х,если для всех х ∈Х выполняется F’(x)=f(x).
Лемма:фун.производной которая на нек.промежутке равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Док-во:х ∈Х,рассмотрим х1 и х2 ∈Х.Согласно т.Лагранжа можно записать очевидное равенство
F(x2)-f(x1)=f’(ƞ)(x2-x1). ƞ ∈[x1;x2]
F’(x)=0. =.>f(x2)=f(x1)
F(x)=const
Теорема: если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке Х,то любая др.первообразная может быть представлена в виде F(x)+c
Пусть Ф(х)-др.первообразная,Ф’(х)=
f(x).Построим новую ф.пусть Н(х)=F(x)-Ф(х). Н’(x)=(Ф(х)-F(x))’ = Ф’(х)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 =>H(x)-const
45.Неопределенный интервал
Опред:если ф.F(x)есть первообразная f(x),то множество ф.F(x)+c,где С-const.называется неопред.интегралом ф.f(x) и обозначается ƒf(x)dx=F(x)+c,
где f(x)dx-подинтегральное выражение,
f(x)-подинтегр.ф.
х-переменное интегрирование.
Восстановление ф. по её производной называется интегрированием.
Геом.смысл неопред. интеграла-бесконечное множество парарельных прямых.
46.Свойства неопределенного интеграла
1)произв.от неопред.интеграла равна подинтег.ф.
[ƒf(x)dx]’=f(x)
2)Диф-ал от неопред. Интеграла равен подинтегр.выражению
3)Неопред.интеграл от диф-ала нек.функции равен этой ф.+ const
4)коэф.можно выносить за знак интеграла
5)неопредлененный интеграл от алгебр.суммы равен алгебр.сумме интегралов
47.Таблица интегралов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48.Методы интегрирования
1.Непосредственное интегрирование (ƒf(x)dx)’=f(x) ƒf’(x)dx=f(x)+C
2.Интегр.путем подведения под знак дифференциала и методом подстановки.
Поведение под знак диф-алчастный случай методы замены.
3.Интегрирование по частям
4.Интегрирование рациональных фун.
5.Интегрирование тригонометрических фун.
6.Интегрирование иррац.ф
49.Метод замены переменных
Теорема:пусть х= φ(t)-определена и диф-ема на Т.Пусть х мн-во значений и пусть на х определена ф f(x) f[φ(t)]. Тогда если f(x)имеет первообразную,то справедлива формула ƒf(x)dx= ƒf[φ(t)]*φ’(t)dt-замена перемен.в неопред интеграле.
50. Метод интегрирования по частям
Т.пусть U(x) и V(x) опред.диф-мы на х и пусть ф.U’(x)* V(x) имеет первообразную на этом интервале.Тогда на U(x)*V’(x)тоже имеет первообразные,причем справедлива формула
ƒ U(x)*V’(x)dx/dv= U*V-U’(x)*V(x)dx
ƒudv=uv-ƒvdu
51.Интегрирование тригонометрических функций
ƒf(x)dx
1)f(x)={sin2x} или cos2x –формула понижения степени
2)f(x)={sin 2k+1} ƒ(sin2x)k xdx=(ƒcosx=t)=ƒ(sin2x)k*(-dt)=ƒ(1-cos2t)k(-dt)=-f(1-t2)kdt
3)f(x)=sinxcosx=1/2sin2x
F(x)sinmxcosmx=(1/2)msinm2x
Если м чет,то см 1
Если нечетн-2
4)f(x)=sin2kcos2L=sin2kx(1-sin2x)Lпонижение степени
5)f(x)sinmxcos2k+1x=sinmxcos2kx*cosх-далее заменой
6)f(x)=sinmx*cosnx=1/2(sin(m+n)x+cos(m-n)x)
7)f(x)=tgkx заменой